Determinar a primeira derivada das seguintes funções
f(x)=arccsc(e^x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=arccscl(e^x^2+1r)
Aqui vamos usar o conteúdo de derivada de função composta (regra da cadeia) e a fórmula para a derivada de arccsc(u).

Passo 2

Seja u=u(x). A fórmula geral é
ddxl[arccsc(u)r] = -u'lvert urvert,raizu^2-1
Como no nosso caso u(x)=e^x^2+1>0, podemos substituir lvert urvert =u.

Passo 3

Tomando u(x)=e^x^2+1, temos
u'(x)=ddxl(e^x^2+1r) = e^x^2+1cdot 2x
Substituindo na fórmula de arccsc,
f'(x) = -u'(x)u(x),raizu(x)^2-1 = -2x,e^x^2+1e^x^2+1,raizl(e^x^2+1r)^2-1 = -2xraize^2(x^2+1)-1

Resposta

f'(x) = -2xraize^2(x^2+1) - 1

Exercícios relacionados