Determinar a primeira derivada das seguintes funções
g(x)=3^-x-4^-raizx+x(ln x)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \r
\r
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada usando as regras de exponencial genérica (com a regra da cadeia) e regra do produto para .

Passo 2

Derivada do termo ;3^-x: seja u(x)=-x. Então, pela regra \r
ddxa^u(x)=a^u(x)ln(a),u'(x), \r
temos \r
ddx3^-x=3^-xln(3)cdot(-1)=-3^-xln(3)

Passo 3

Derivada do termo ;-4^-raizx: primeiro derive 4^-raizx. Seja v(x)=-raizx. Então \r
ddx4^-raizx=4^-raizxln(4),v'(x)com v'(x)=-12raizx \r
Logo \r
ddx4^-raizx=4^-raizxln(4)cdotl(-12raizxr)=-4^-raizxln(4)2raizx \r
Como o termo original é com menos, ou seja -4^-raizx, a derivada fica \r
ddxl(-4^-raizxr)=+4^-raizxln(4)2raizx

Passo 4

Derivada do termo ;x(ln x)^2 usando regra do produto. Se f(x)=x e h(x)=(ln x)^2, então \r
ddx[x(ln x)^2]=f'(x),h(x)+f(x),h'(x) \r
Aqui f'(x)=1 e \r
ddx(ln x)^2=2(ln x)cdot1x=2ln xx \r
Portanto \r
ddx[x(ln x)^2]=(1)cdot(ln x)^2 + xcdot2ln xx=(ln x)^2+2ln x

Passo 5

Juntando tudo, a derivada de g é \r
boxedg'(x)=-3^-xln(3)+4^-raizxln(4)2raizx+(ln x)^2+2ln x

Resposta

g'(x)=-3^-xln(3)+4^-raizxln(4)2raizx+(ln x)^2+2ln x

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