Determinar a primeira derivada das seguintes funções
f(t)=arcsen(3t^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=arcsin!l(tfrac3t^2r). O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada à função inversa do seno, junto com a derivada de uma função potência. Vamos usar a fórmula
ddtl(arcsin(u(t))r) = u'(t)raiz1 - l(u(t)r)^2
e, em seguida, calcular u(t) e u'(t).

Passo 2

Defina a função interna
u(t) = 3t^2
Para derivar u(t), reescreva como u(t)=3,t^-2 e use a regra de potência:
u'(t) = 3cdot(-2),t^-3 = -6,t^-3 = -6t^3

Passo 3

Agora aplique a regra da cadeia:
f'(t) = u'(t)raiz1 - l(u(t)r)^2 = -tfrac6t^3raiz1 - l(tfrac3t^2r)^2

Passo 4

Simplifique o denominador:
1 - l(tfrac3t^2r)^2 = 1 - 9t^4 = t^4 - 9t^4,
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raiz1 - l(tfrac3t^2r)^2 = raizt^4 - 9t^2
Substituindo de volta,
f'(t) = -6t^3;g/;raizt^4 - 9t^2 = -6t^3cdott^2raizt^4 - 9 = -6t,raizt^4 - 9

Resposta

f'(t) = -6t,raizt^4 - 9

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