Determinar a primeira derivada das seguintes funções
g(theta)=arccos (tg theta)

Passo 1

O enunciado dá g(theta)=arccosl(tan(theta)r) e pede g'(theta). Para isso vamos usar a regra da cadeia, sabendo a derivada de arccos(u) e de tan(theta).

Passo 2

Seja u(theta)=tan(theta). Sabemos que
ddthetaarccosl(u(theta)r) =-u'(theta)raiz1-[u(theta)]^2

Passo 3

Calculamos u'(theta). Como u(theta)=tan(theta), vale
u'(theta)=ddthetatan(theta)=sec^2(theta)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em g(theta)=arccos(u(theta)), substituímos u'(theta) e u(theta):
g'(theta) =-sec^2(theta)raiz1-tan^2(theta)

Resposta

g'(theta)=-sec^2(theta)raiz1-tan^2(theta)

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