Determinar a primeira derivada das seguintes funções
f(x)=log 8(2+sen x)-log 4(e^x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada primeira de
f(x)=log8l(2+sin xr);-;log4l(e^xr)
Aqui vamos usar duas ideias principais:
  1. A derivada de logal(u(x)r) é
ddxlogal(u(x)r) =u'(x)u(x),ln a
  1. A derivada de e^x é e^x.

Passo 2

Calcular
ddxlog8l(2+sin xr)
Escolhendo u(x)=2+sin x temos u'(x)=cos x. Logo,
ddxlog8l(2+sin xr) =cos xl(2+sin xr),ln 8

Passo 3

Calcular
ddxlog4l(e^xr)
Aqui v(x)=e^x e v'(x)=e^x. Aplicando a fórmula,
ddxlog4l(e^xr) =e^xe^x,ln 4 =1ln 4

Passo 4

Agora basta colocar o sinal menos entre os dois resultados:
f'(x) =cos xl(2+sin xr),ln 8 ;-;1ln 4

Resposta

f'(x) =cos x(2+sin x),ln 8 ;-;1ln 4

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