Determinar a primeira derivada das seguintes funções
g(t)=ln (sen^2 t)+(1-t7)^-7

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(t)=lnl(sin^2tr)+l(1-tfract7r)^-7
Vamos usar regra da cadeia para cada parcela: a derivada de ln(u) e a derivada de uma potência (v)^n.

Passo 2

Derivando a parte ln(sin^2 t): escrevemos u=sin^2 t, então
ddtln(u)=u'u
Como
u'=ddtl(sin^2 tr)=2sin tcos t,
vem
ddtlnl(sin^2 tr) =2sin tcos tsin^2 t =2cot t

Passo 3

Derivando a parte l(1-tfract7r)^-7: seja v=1-tfract7 e n=-7. Então
ddtv^n=n,v^,n-1,v',
com
v'=ddtl(1-tfract7r)=-tfrac17
Logo
ddtl(1-tfract7r)^-7 =-7l(1-tfract7r)^-8!cdot!l(-tfrac17r) =l(1-tfract7r)^-8

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
g'(t)=2cot t+l(1-tfract7r)^-8

Resposta

g'(t)=2cot t+l(1-tfract7r)^-8

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