Determinar a primeira derivada das seguintes funções
g(x)=ln (x^2+4)-x arctg(x2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a primeira derivada da função g(x) = ln(x^2 + 4) - x arctg(x2) . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente utilizando regras de derivação como a Regra da Cadeia e a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o termo ln(x^2 + 4) . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que serve quando temos funções compostas. A derivada de ln(u) em relação a x é 1u cdot dudx . Aqui, u = x^2 + 4 .
Então:
ddx ln(x^2 + 4) = 1x^2 + 4 cdot ddx(x^2 + 4) = 1x^2 + 4 cdot 2x = 2xx^2 + 4

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo -x arctg(x2) . Aqui, usamos a Regra do Produto porque temos a multiplicação de duas funções: x e arctg(x2) .
A Regra do Produto diz que ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' , onde u = x e v = arctg(x2) .
Primeiro, derivamos u = x :
u' = 1
Depois, derivamos v = arctg(x2) . Para isso, usamos a Regra da Cadeia novamente. A derivada de arctg(w) é 11 + w^2 cdot dwdx , onde w = x2 .
Então:
v' = 11 + (x2)^2 cdot 12 = 12(1 + x^24) = 2x^2 + 4
Agora, aplicamos a Regra do Produto:
ddx(-x arctg(x2)) = -(u' cdot v + u cdot v') = -(1 cdot arctg(x2) + x cdot 2x^2 + 4)
= -arctg(x2) - 2xx^2 + 4

Resposta

Juntando tudo, a primeira derivada de g(x) é:
g'(x) = 2xx^2 + 4 - arctg(x2) - 2xx^2 + 4 = -arctg(x2)

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