Determinar a primeira derivada das seguintes funções
h(x)=ln raiz(x+1)(x+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira derivada da função h(x) = ln raiz(x+1)(x+2) . Aqui, estamos trabalhando com derivadas e vamos usar algumas regras de derivação, como a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos. Vamos por partes para entender direitinho como chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de 12 . Então, podemos reescrever a função da seguinte maneira:
h(x) = ln ( ( x+1x+2 )^12 )

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b ln(a) . Aplicando isso na nossa função, temos:
h(x) = 12 ln ( x+1x+2 )
Isso facilita porque agora temos uma constante multiplicando o logaritmo, o que vai ajudar na derivada.

Passo 4

Vamos agora derivar h(x) em relação a x . A derivada do logaritmo natural ln(u) é u'u , onde u é uma função de x . No nosso caso, u = x+1x+2 . Mas antes disso, lembre-se que temos um fator de 12 lá na frente, que vai ficar junto na derivada.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de u = x+1x+2 . Usamos a regra do quociente, que diz que se u = f(x)g(x) , então u' = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 .
Aqui, f(x) = x + 1 e g(x) = x + 2 .
Derivando cada parte:
f'(x) = 1 e g'(x) = 1
Então,
u' = 1 cdot (x+2) - (x+1) cdot 1(x+2)^2 = x + 2 - x -1(x+2)^2 = 1(x+2)^2

Passo 6

Voltando à derivada de h(x) , que era:
h'(x) = 12 cdot u'u = 12 cdot 1(x+2)^2x+1x+2
Vamos simplificar essa expressão:
h'(x) = 12 cdot 1(x+2)^2 cdot x+2x+1 = 12 cdot 1(x+2)(x+1)

Passo 7

Finalmente, podemos reescrever a expressão de forma mais simples:
h'(x) = 12 ( 1x+1 - 1x+2 )

Resposta

A primeira derivada da função é:
h'(x) = 12 ( 1x+1 - 1x+2 )

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