Determinar a primeira derivada das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas e vamos usar algumas regras de derivação, como a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos. Vamos por partes para entender direitinho como chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de
. Então, podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso na nossa função, temos:
Isso facilita porque agora temos uma constante multiplicando o logaritmo, o que vai ajudar na derivada.
Passo 4
Vamos agora derivar
em relação a
. A derivada do logaritmo natural
é
, onde
é uma função de
. No nosso caso,
. Mas antes disso, lembre-se que temos um fator de
lá na frente, que vai ficar junto na derivada.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra do quociente, que diz que se
, então
.
Aqui,
e
.
Derivando cada parte:
Então,
Passo 6
Voltando à derivada de
, que era:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 7
Finalmente, podemos reescrever a expressão de forma mais simples:
Resposta
A primeira derivada da função é: