Determinar a primeira derivada das seguintes funções
h(t)=raizln raizt

Passo 1

O enunciado nos dá
h(t)=raizlnraizt,
que é uma composição de funções: raiz quadrada sobre logaritmo natural sobre raiz de t. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e a propriedade do logaritmo ln(t^a)=aln t.

Passo 2

Primeiro simplificamos o interior do logaritmo:
lnraizt=lnl(t^1/2r)=tfrac12,ln t
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h(t)=raiztfrac12,ln t=l(tfrac12,ln tr)^1/2

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. Se h(t)=g(u(t)) com g(u)=raizu=u^1/2 e u(t)=tfrac12ln t, então
g'(u)=12raizu, u'(t)=12cdot1t=12t
Portanto
h'(t) =g'l(u(t)r),u'(t) =12raiztfrac12ln t;cdot;12t =14,t,raiztfrac12ln t

Passo 4

Podemos reescrever raiztfrac12ln t=dfracraizln traiz2, então
h'(t) =14,t,l(raizln t/raiz2r) =raiz24,t,raizln t =12raiz2;t;raizln t

Resposta

h'(t) =14,t,raiztfrac12ln t ;=;12raiz2;t;raizln t

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