Determinar a primeira derivada das seguintes funções
h(x)=cos (e^-x^3)-4 cos ^-5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função h(x) = cos(e^-x^3) - 4 cos^-5 x . A gente vai usar algumas regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do poder. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte cos(e^-x^3) . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
A derivada de cos(u) é -sin(u) cdot u' . Aqui, u = e^-x^3 , então precisamos derivar u :
u' = ddx e^-x^3 = e^-x^3 cdot (-3x^2) = -3x^2 e^-x^3
Agora, aplicando a regra da cadeia:
ddx cos(e^-x^3) = -sin(e^-x^3) cdot (-3x^2 e^-x^3) = 3x^2 e^-x^3 sin(e^-x^3)

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte da função, que é -4 cos^-5 x . Aqui, usamos a Regra do Poder, que diz que a derivada de [cos(x)]^n é n [cos(x)]^n-1 cdot (-sin(x)) .
Aplicando isso:
ddx cos^-5 x = -5 cos^-6 x cdot (-sin x) = 5 sin x cos^-6 x
Multiplicando pelo -4 que está na frente:
ddx (-4 cos^-5 x) = -4 cdot 5 sin x cos^-6 x = -20 sin x cos^-6 x

Resposta

Juntando tudo, a primeira derivada da função h(x) é:
h'(x) = 3x^2 e^-x^3 sin(e^-x^3) - 20 sin xcos^6x

Exercícios relacionados