Determinar, pelo procedimento visto em sala, a inversa da matriz C=(cccc-2 & -1 & 0 & 2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2). Calcular det C , usando o processo de triangulação.
Resp: (cccc1 & -1 & 0 & 2 -1 & 2 & 2 & 0 0 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) calcular det C usando processo de triangulação por eliminação de Gauss; (b) encontrar C^-1 pelo método de Gauss–Jordan (matriz aumentada [Cmid I]). Vamos usar operações elementares de linha, lembrando que trocar duas linhas muda o sinal do determinante e multiplicar uma linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar.

Passo 2

Começamos calculando det C. Seja
C= -2 & -1 & 0 & 2 3 & 1 & -2 & -2 -4 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & -1 & -2
  1. Troque R1rightarrow R2; isso inverte o sinal de det.
  2. Use R2 R2+tfrac23R1, R3 R3+tfrac43R1, R4 R4-R1 para eliminar abaixo de a11=3.
  3. Depois, elimine abaixo de a22=-tfrac13 em R3.
  4. Em seguida, elimine abaixo de a33=-2 em R4.
    Ao final fica uma matriz triangular superior com pivôs
3, -tfrac13, -2, tfrac12
O produto dos pivôs é
3cdotl(-tfrac13r)cdot(-2)cdottfrac12=1
Lembrando da troca de linhas,
det C = -1cdot1 = -1

Passo 3

Agora montamos a matriz aumentada [Cmid I4] e aplicamos Gauss–Jordan até obter [I4mid C^-1]. De modo resumido:
  1. Use a11=-2 para zerar a coluna 1 em R2,R3,R4.
  2. Normalize R1 e, em seguida, use o novo pivô em (2,2) para zerar acima e abaixo na coluna 2.
  3. Repita para os pivôs em (3,3) e (4,4).
  4. Ao final, a parte direita da aumentada será C^-1.

Resposta

det C = -1
C^-1 = 1 & -1 & 0 & 2 -1 & 2 & 2 & 0 0 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 2

Exercícios relacionados