Seja r a reta que passa pelo ponto A(2,-5,4) e B(-3,2,-1),
Verifique se os pontos P(-11,16,-11) e Q(12,-19,16) pertencem à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre verificar se dois pontos, P(-11, 16, -11) e Q(12, -19, 16) , estão na reta r que passa pelos pontos A(2, -5, 4) e B(-3, 2, -1) . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente equações paramétricas de reta no espaço. Precisamos descobrir a direção da reta r e depois verificar se os pontos P e Q satisfazem essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta r . Isso é feito subtraindo as coordenadas de A das de B :
d = B - A = (-3 - 2, 2 - (-5), -1 - 4) = (-5, 7, -5)
Esse vetor d = (-5, 7, -5) indica a direção da reta r .

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta [r). A ideia é expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro :
Essas equações representam todos os pontos que estão na reta (r].

Passo 4

Vamos verificar se o ponto P(-11, 16, -11) está na reta r . Para isso, encontramos o valor de t que satisfaz cada coordenada e vemos se é o mesmo para todas.
Primeiro, para x :
-11 = 2 - 5t implies -13 = -5t implies t = 135 = 2,6
Segundo, para y :
16 = -5 + 7t implies 21 = 7t implies t = 3
Terceiro, para z :
-11 = 4 - 5t implies -15 = -5t implies t = 3
Os valores de t para y e z são iguais ( t = 3 ), mas para x é diferente ( t = 2,6 ). Isso significa que o ponto P não está na reta r .

Passo 5

Agora, vamos verificar o ponto Q(12, -19, 16) .
Primeiro, para x :
12 = 2 - 5t implies 10 = -5t implies t = -2
Segundo, para y :
-19 = -5 + 7t implies -14 = 7t implies t = -2
Terceiro, para z :
16 = 4 - 5t implies 12 = -5t implies t = -125 = -2,4
Os valores de t para x e y são iguais ( t = -2 ), mas para z é diferente ( t = -2,4 ). Portanto, o ponto Q não está na reta r .

Resposta

Nenhum dos pontos P(-11, 16, -11) e Q(12, -19, 16) pertence à reta r .

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