Seja r a reta que passa pelos pontos A(1,-5,2) e B(-1,2,-3),
Obtenha as equações reduzidas da reta r em relação a variável x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A(1,-5,2) e B(-1,2,-3), ou seja, escrever y e z como funções de x. Vamos usar conceitos de geometria analítica em R^3: vetor diretor, equações paramétricas e eliminação do parâmetro para obter (y,z) em função de x.

Passo 2

Primeiro, calculamos o vetor diretor vec v de r subtraindo as coordenadas de A e B:
vec v = AB = B - A = (-1-1,;2-(-5),;-3-2) = (-2,,7,,-5)

Passo 3

Com
onde (t\in\mathbb R].

Passo 4

Isolamos t em função de x a partir da primeira equação:
x = 1 - 2t Longrightarrow 2t = 1 - x Longrightarrow t = 1 - x2

Passo 5

Substituímos t = tfrac1 - x2 nas expressões de y e z:
y = -5 + 7!gl(1 - x2gr) = -5 + 7 - 7x2 = -10 + 7 - 7x2 = -7x + 32,
z = 2 - 5!gl(1 - x2gr) = 2 - 5 - 5x2 = 4 - 5 + 5x2 = 5x - 12

Resposta

y = -7x + 32, z = 5x - 12

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