Uma galeria de águas pluviais de 1,0 \mathrm{~m} de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning \mathrm{n}=0,013 e declividade de fundo \mathrm{I} 0=2,5 \times 10-3 \mathrm{~m} / \mathrm{m} transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de 1,20 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}.
a) Determine a altura d’água e a velocidade média.
b) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funciona na condição de máxima vazão?

Passo 1

O problema trata de um escoamento permanente uniforme numa galeria circular de diâmetro D=1{,}0,m, coeficiente de Manning n=0{,}013 e declividade de fundo S_0=2,5\times10^{-3}. A vazão é Q=1,20, m^{3}/s.
Conteúdo: escoamento uniforme em canais circulares com a fórmula de Manning
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde A é a área da seção molhada e R=A/P é o raio hidráulico P=perímetro molhado). Para altura y pode ser parcial ou total ( y\le D. A velocidade média é V=Q/A. Para a condição de máxima vazão em canal circular, sabe-se que o produto A\,R^{2/3} atinge máximo quando y/D\approx0{,}94.

Passo 2

Verificamos se a vazão dada faz a galeria trabalhar cheia. Para y=D temos
A_{\rm full}=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi\,(1{,}0)^2}{4}=0{,}7854\\ \mathrm{m^2},
P_{\rm full}=\pi D=\pi\cdot1{,}0=3{,}1416\\ \mathrm{m},
R_{\rm full}=\frac{A_{\rm full}}{P_{\rm full}} =\frac{0{,}7854}{3{,}1416}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
Logo, pela fórmula de Manning,
Q_{\rm full} =\frac{1}{n}A_{\rm full}R_{\rm full}^{2/3}S_0^{1/2} =\frac{1}{0{,}013}\,(0{,}7854)\,(0{,}25)^{2/3}\,(2{,}5\times10^{-3})^{1/2}.
Calculando,
(0{,}25)^{2/3}\approx0{,}397,\quad (2{,}5\times10^{-3})^{1/2}=0{,}05,
Q_{\rm full} \approx\frac{1}{0{,}013}\times0{,}7854\times0{,}397\times0{,}05 \approx1{,}20\\ \mathrm{m^3/s}.
Como Q_{\rm full} coincide com a vazão dada, a galeria está completamente cheia, isto é, y=D=1{,}0,m.

Passo 3

Com a galeria cheia, a velocidade média é
V=\frac{Q}{A_{\rm full}} =\frac{1{,}20}{0{,}7854}\approx1{,}53\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para a parte (b), queremos a máxima capacidade de vazão, isto é, o valor máximo de \;Q=(1/n)\,A\,R^{2/3}S_0^{1/2}\;
quando y/D é tal que A\,R^{2/3} é máximo. Em canal circular isso ocorre em
\frac{y}{D}\approx0{,}94.
Vamos calcular Q_{\rm max} nessa condição. Defina \displaystyle \alpha=\operatorname{arccos}\bigl(1-2\,\tfrac{y}{D}\bigr) =\operatorname{arccos}(-0{,}88)\approx2{,}645\\ \mathrm{rad},
então a área do setor molhado é
A_{\rm opt} =\frac{D^2}{8}\,\bigl(2\alpha-\sin2\alpha\bigr) =\frac{1^2}{8}\bigl(2\cdot2{,}645-\sin5{,}29\bigr) \approx0{,}765\\ \mathrm{m^2},
o perímetro molhado é
P_{\rm opt}=r\,(2\alpha) =\tfrac{D}{2}\,2\alpha =\alpha\approx2{,}645\\ \mathrm{m},
e o raio hidráulico
R_{\rm opt}=\frac{A_{\rm opt}}{P_{\rm opt}} \approx\frac{0{,}765}{2{,}645}=0{,}289\\ \mathrm{m}.
Logo
R_{\rm opt}^{2/3}\approx0{,}289^{2/3}\approx0{,}437, \quad S_0^{1/2}=0{,}05,
Q_{\rm max} =\frac{1}{0{,}013}\,0{,}765\,(0{,}437)\,0{,}05 \approx1{,}28\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

a) A galeria escoa cheia, logo y=1{,}0,m e V\approx1{,}53,m/s.
b) A vazão máxima (ótima) é \displaystyle Q_{\rm max}\approx1{,}28, m^{3}/s.

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