Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular o VPL e a anuidade uniforme equivalente. Determinar qual delas representa a melhor escolha econômica.
alternativa X
alternativa Y
investimento inicial
\ 5.000& &$8.000$
fluxo de caixa
\ 1.672 /ano & &$1.594 /$ ano
duração
5 anos
10 anos
custo do capital
10 \% a.a.
10 \% a.a.
Passo 1
O enunciado pede que, para duas alternativas mutuamente exclusivas (X e Y), calculemos o Valor Presente Líquido (VPL) e a anuidade uniforme equivalente (anuidade anual equivalente) e, com isso, determinemos qual alternativa é a melhor em termos econômicos.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
Calcular a anuidade uniforme equivalente (valor anual equivalente de cada alternativa).
Determinar qual alternativa é a melhor escolha econômica (explicando qual critério usamos).
Passo 2
Fórmulas que usaremos e o que significam as variáveis (explicação didática curta e clara):
O VPL de uma alternativa com investimento inicial P (positivo quando é desembolso) e recebimentos uniformes R por n anos, à taxa i, é o valor presente dos recebimentos menos o investimento inicial. Em fórmulas:
VPL = -P + R\cdot a_{\overline{n}|i}
onde a_{\overline{n}|i} é o fator de valor presente de uma anuidade imediata de n termos a taxa i.
O fator a_{\overline{n}|i} é dado por:
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando: (1+i)^{-n} é o fator que traz um valor daqui a n anos para hoje; a_{\overline{n}|i} soma os fatores de cada ano (é a soma geométrica) e divide por i para obter o valor presente por unidade de recebimento anual.
A anuidade uniforme equivalente A_{eq} (valor anual equivalente) transforma o VPL em um valor anual constante ao longo da vida n. A relação é:
onde \text{CRF}_{i,n}=\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}} é o fator de recuperação de capital (capital recovery factor). Outra forma prática (equivalente) é transformar o investimento inicial em uma anuidade de custo e subtrair dos recebimentos:
A_{eq} = R - P\cdot \text{CRF}_{i,n}.
Explicando: se você transforma tudo para “por ano”, fica fácil comparar alternativas com vidas diferentes.
Passo 3
Cálculo para a alternativa X (etapa 1: fator de anuidade para n=5, i=10\%):
Explicando em palavras: os recebimentos valem hoje \$\,6.338{,}20; subtraindo o investimento \$\,5.000 sobra um VPL positivo de \$\,1.338{,}20.
Passo 5
Cálculo da anuidade uniforme equivalente para X (duas formas equivalentes; uso a forma prática A_{eq}=R - P\cdot \text{CRF}):
Primeiro calculamos a \text{CRF} para n=5:
No entanto, as alternativas têm durações diferentes (5 e 10 anos). Quando vidas são diferentes e as alternativas são mutuamente exclusivas, o critério mais apropriado para comparação é a anuidade uniforme equivalente (transforma tudo para “por ano” e permite comparação justa). Pelo critério da anuidade uniforme equivalente:
logo, em termos de valor anual médio, a alternativa X é melhor.
Conclusão prática: se você precisa escolher uma alternativa única e quer comparar desempenhos ajustados pela duração, use a anuidade equivalente — escolha X. Se, por algum motivo, preferir o critério de VPL absoluto (por exemplo, projetos não substituíveis e sem reinvestimento entre projetos), escolha Y. Para o caso típico de alternativas mutuamente exclusivas com vidas diferentes, a recomendação é usar a anuidade equivalente: escolher X.
Resposta
Alternativa X: VPL_X = \$\,1.338,20; Anuidade uniforme equivalente A_{eq,X} = \$\,353,01/\text{ano}.
Alternativa Y: VPL_Y = \$\,1.794,44; Anuidade uniforme equivalente A_{eq,Y} = \$\,292,04/\text{ano}.
Melhor escolha econômica (comparando vidas diferentes pelo critério de anuidade equivalente): Alternativa X.