Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular o VPL e a anuidade uniforme equivalente. Determinar qual delas representa a melhor escolha econômica.
alternativa X alternativa Y
investimento inicial \ 5.000 & &$8.000$
fluxo de caixa \ 1.672 / ano & &$1.594 /$ ano
duração 5 anos 10 anos
custo do capital 10 \% a.a. 10 \% a.a.

Passo 1

O enunciado pede que, para duas alternativas mutuamente exclusivas (X e Y), calculemos o Valor Presente Líquido (VPL) e a anuidade uniforme equivalente (anuidade anual equivalente) e, com isso, determinemos qual alternativa é a melhor em termos econômicos.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\begin{array}{ll} \text{Alternativa X:} & \text{investimento inicial } \$\,5.000,\; \text{fluxo } \$\,1.672/\text{ano},\; \text{duração } 5\\ \text{anos} \\\ \text{Alternativa Y:} & \text{investimento inicial } \$\,8.000,\; \text{fluxo } \$\,1.594/\text{ano},\; \text{duração } 10\\ \text{anos} \\\ \text{Custo de capital:} & i = 10\% \\ \text{a.a.} \end{array}çãçã
As perguntas específicas que vamos responder:
  1. Calcular o VPL de cada alternativa.
  2. Calcular a anuidade uniforme equivalente (valor anual equivalente de cada alternativa).
  3. Determinar qual alternativa é a melhor escolha econômica (explicando qual critério usamos).

Passo 2

Fórmulas que usaremos e o que significam as variáveis (explicação didática curta e clara):
  • O VPL de uma alternativa com investimento inicial P (positivo quando é desembolso) e recebimentos uniformes R por n anos, à taxa i, é o valor presente dos recebimentos menos o investimento inicial. Em fórmulas:
VPL = -P + R\cdot a_{\overline{n}|i}
onde a_{\overline{n}|i} é o fator de valor presente de uma anuidade imediata de n termos a taxa i.
  • O fator a_{\overline{n}|i} é dado por:
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando: (1+i)^{-n} é o fator que traz um valor daqui a n anos para hoje; a_{\overline{n}|i} soma os fatores de cada ano (é a soma geométrica) e divide por i para obter o valor presente por unidade de recebimento anual.
  • A anuidade uniforme equivalente A_{eq} (valor anual equivalente) transforma o VPL em um valor anual constante ao longo da vida n. A relação é:
A_{eq} = VPL \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}} = VPL \cdot \text{CRF}_{i,n},
onde \text{CRF}_{i,n}=\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}} é o fator de recuperação de capital (capital recovery factor). Outra forma prática (equivalente) é transformar o investimento inicial em uma anuidade de custo e subtrair dos recebimentos:
A_{eq} = R - P\cdot \text{CRF}_{i,n}.
Explicando: se você transforma tudo para “por ano”, fica fácil comparar alternativas com vidas diferentes.

Passo 3

Cálculo para a alternativa X (etapa 1: fator de anuidade para n=5, i=10\%):
(1+i)^5 = 1{,}1^5 = 1{,}61051.
(1+i)^{-5} = \frac{1}{1{,}61051} = 0{,}6209213231\\ \text{(aprox.)}
a_{\overline{5}|0{,}10}=\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}=\frac{1-0{,}6209213231}{0{,}10}= \frac{0{,}3790786769}{0{,}10}=3{,}790786769.

Passo 4

Cálculo do VPL da alternativa X:
\text{PV dos recebimentos} = R\cdot a_{\overline{5}|0{,}10} = 1.672 \times 3{,}790786769 \approx 6.338{,}20
VPL_X = -P + \text{PV dos recebimentos} = -5.000 + 6.338{,}20 = 1.338{,}20
Explicando em palavras: os recebimentos valem hoje \$\,6.338{,}20; subtraindo o investimento \$\,5.000 sobra um VPL positivo de \$\,1.338{,}20.

Passo 5

Cálculo da anuidade uniforme equivalente para X (duas formas equivalentes; uso a forma prática A_{eq}=R - P\cdot \text{CRF}):
Primeiro calculamos a \text{CRF} para n=5:
\text{CRF}_{0{,}10,5}=\frac{0{,}10}{1-(1{,}1)^{-5}}=\frac{0{,}10}{0{,}3790786769}=0{,}263796811.
Agora:
A_{eq,X}=R - P\cdot \text{CRF}_{0{,}10,5} = 1.672 - 5.000\times 0{,}263796811
5.000\times 0{,}263796811 = 1.318{,}99\\ \text{(aprox.)}
A_{eq,X} = 1.672 - 1.318{,}99 = 353{,}01\\ \text{(por ano, aprox.)}
Verificação alternativa (usando VPL): A_{eq,X} = VPL_X \cdot \text{CRF}_{0{,}10,5} = 1.338{,}20\times 0{,}263796811 \approx 353{,}01, mesmo resultado.

Passo 6

Cálculo para a alternativa Y (etapa 1: fator de anuidade para n=10, i=10\%):
(1+i)^{10} = 1{,}1^{10} = 2{,}5937424601.
(1+i)^{-10} = \frac{1}{2{,}5937424601} = 0{,}3855432894\\ \text{(aprox.)}
a_{\overline{10}|0{,}10}=\frac{1-(1+i)^{-10}}{i}=\frac{1-0{,}3855432894}{0{,}10}= \frac{0{,}6144567106}{0{,}10}=6{,}144567106.

Passo 7

Cálculo do VPL da alternativa Y:
\text{PV dos recebimentos} = R\cdot a_{\overline{10}|0{,}10} = 1.594 \times 6{,}144567106 \approx 9.794{,}44
VPL_Y = -P + \text{PV dos recebimentos} = -8.000 + 9.794{,}44 = 1.794{,}44
Interpretação: os recebimentos valem hoje \$\,9.794{,}44; subtraindo o investimento \$\,8.000 sobra um VPL positivo de \$\,1.794{,}44.

Passo 8

Cálculo da anuidade uniforme equivalente para Y:
Calculemos \text{CRF} para n=10:
\text{CRF}_{0{,}10,10}=\frac{0{,}10}{1-(1{,}1)^{-10}}=\frac{0{,}10}{0{,}6144567106}=0{,}162745093.
Agora:
A_{eq,Y}=R - P\cdot \text{CRF}_{0{,}10,10} = 1.594 - 8.000\times 0{,}162745093
8.000\times 0{,}162745093 = 1.301{,}96\\ \text{(aprox.)}
A_{eq,Y} = 1.594 - 1.301{,}96 = 292{,}04\\ \text{(por ano, aprox.)}
Verificação com VPL: A_{eq,Y} = VPL_Y \cdot \text{CRF}_{0{,}10,10} = 1.794{,}44\times 0{,}162745093 \approx 292{,}04.

Passo 9

Interpretação final e critério de decisão:
  • Pelo critério do VPL (escolher o maior VPL), a alternativa Y é melhor, porque
VPL_Y \approx \$\,1.794{,}44 > VPL_X \approx \$\,1.338{,}20.
  • No entanto, as alternativas têm durações diferentes ( 5 e 10 anos). Quando vidas são diferentes e as alternativas são mutuamente exclusivas, o critério mais apropriado para comparação é a anuidade uniforme equivalente (transforma tudo para “por ano” e permite comparação justa). Pelo critério da anuidade uniforme equivalente:
A_{eq,X} \approx \$\,353{,}01/\text{ano} > A_{eq,Y} \approx \$\,292{,}04/\text{ano},
logo, em termos de valor anual médio, a alternativa X é melhor.
Conclusão prática: se você precisa escolher uma alternativa única e quer comparar desempenhos ajustados pela duração, use a anuidade equivalente — escolha X. Se, por algum motivo, preferir o critério de VPL absoluto (por exemplo, projetos não substituíveis e sem reinvestimento entre projetos), escolha Y. Para o caso típico de alternativas mutuamente exclusivas com vidas diferentes, a recomendação é usar a anuidade equivalente: escolher X.

Resposta

Alternativa X: VPL_X = \$\,1.338,20; Anuidade uniforme equivalente A_{eq,X} = \$\,353,01/\text{ano}.
Alternativa Y: VPL_Y = \$\,1.794,44; Anuidade uniforme equivalente A_{eq,Y} = \$\,292,04/\text{ano}.
Melhor escolha econômica (comparando vidas diferentes pelo critério de anuidade equivalente): Alternativa X.

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