Determinar o raio da base de um cilindro equilátero sabendo-se que a área lateral excede de
a área da secção meridiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver esse exercício de geometria envolvendo cilindros. A questão fala sobre um cilindro equilátero, que é um cilindro onde a altura é igual ao diâmetro da base. Precisamos encontrar o raio da base sabendo que a área lateral do cilindro é 4π cm² maior que a área da secção meridiana. Para isso, vamos usar fórmulas de áreas de cilindro e entender um pouco sobre as seções do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que vamos precisar:
- Área Lateral do Cilindro (A_L): É a área das laterais, sem contar as bases. A fórmula é:
Onde
é o raio da base e
é a altura do cilindro.
- Área da Secção Meridiana (A_M): Essa é a área de uma seção vertical que passa pelo eixo central do cilindro. Ela forma um retângulo com altura
e largura , então a área é:
Passo 3
Como o cilindro é equilátero, a altura
é igual ao diâmetro da base. Ou seja:
Isso vai nos ajudar a substituir
nas fórmulas e simplificar os cálculos.
Passo 4
Segundo o enunciado, a área lateral excede a área da secção meridiana em
cm². Então, podemos escrever a equação:
Substituindo as fórmulas das áreas:
Passo 5
Agora, vamos substituir
por
, já que
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos isolar os termos com
:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando a fração:
Passo 8
Por fim, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O raio da base do cilindro equilátero é
centímetros.