Determinar o raio da base de um cilindro equilátero sabendo-se que a área lateral excede de 4 pi cm^2 a área da secção meridiana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver esse exercício de geometria envolvendo cilindros. A questão fala sobre um cilindro equilátero, que é um cilindro onde a altura é igual ao diâmetro da base. Precisamos encontrar o raio da base sabendo que a área lateral do cilindro é 4π cm² maior que a área da secção meridiana. Para isso, vamos usar fórmulas de áreas de cilindro e entender um pouco sobre as seções do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que vamos precisar:
  • Área Lateral do Cilindro (A_L): É a área das laterais, sem contar as bases. A fórmula é:
AL = 2pi r h
Onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
  • Área da Secção Meridiana (A_M): Essa é a área de uma seção vertical que passa pelo eixo central do cilindro. Ela forma um retângulo com altura h e largura 2r , então a área é:
AM = 2r times h

Passo 3

Como o cilindro é equilátero, a altura h é igual ao diâmetro da base. Ou seja:
h = 2r
Isso vai nos ajudar a substituir h nas fórmulas e simplificar os cálculos.

Passo 4

Segundo o enunciado, a área lateral excede a área da secção meridiana em 4pi cm². Então, podemos escrever a equação:
AL = AM + 4pi
Substituindo as fórmulas das áreas:
2pi r h = 2r h + 4pi

Passo 5

Agora, vamos substituir h por 2r , já que h = 2r :
2pi r times 2r = 2r times 2r + 4pi
Simplificando:
4pi r^2 = 4r^2 + 4pi

Passo 6

Vamos isolar os termos com r^2 :
4pi r^2 - 4r^2 = 4pi
Fatorando r^2 :
r^2 (4pi - 4) = 4pi

Passo 7

Agora, vamos resolver para r^2 :
r^2 = 4pi4pi - 4
Simplificando a fração:
r^2 = 4pi4(pi - 1) = pipi - 1

Passo 8

Por fim, para encontrar r , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
r = raizpipi - 1 , cm

Resposta

O raio da base do cilindro equilátero é r = raizdfracpipi - 1 centímetros.

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