Nos itens abaixo, defina a transformação linear
por
e determine o núcleo e a imagem de
, bem como suas respectivas dimensões.
Passo 1
O enunciado fornece a transformação linear
Tcolon R^2toR^3 dada por
O que precisamos é:
- Determinar o núcleo de
, isto é,T , e sua dimensão (nullidade).ker(T)=vinR^2mid A,v=0 - Determinar a imagem de
, isto é,T , e sua dimensão (posto ou rank).Im(T)=A,vmid vinR^2
Passo 2
Para achar
Da primeira equação vem . Portanto a única solução é
, ou seja
Como só há solução trivial,
.
Passo 3
A imagem de
T é o espaço gerado pelas colunas de
A . As colunas são
Verificamos se são linearmente independentes: se
alpha c1+beta c2=0 , temos
Da primeira
alpha=-3beta ; na terceira:
Logo
c1 e
c2 são independentes e formam uma base de
Im(T) . Assim
e
dimIm(T)=2 .