Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine o núcleo e a imagem de T, bem como suas respectivas dimensões.
A=[cc1 & 3 -1 & -3 2 & 2]

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear Tcolon R^2toR^3 dada por
T(v)=A,v, A=1 & 3-1 & -32 & 2
O que precisamos é:
  1. Determinar o núcleo de T, isto é, ker(T)=vinR^2mid A,v=0, e sua dimensão (nullidade).
  2. Determinar a imagem de T, isto é, Im(T)=A,vmid vinR^2, e sua dimensão (posto ou rank).

Passo 2

Para achar
Da primeira equação vem . Portanto a única solução é , ou seja
Como só há solução trivial, .

Passo 3

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
c1=(1,-1,2), c2=(3,-3,2)
Verificamos se são linearmente independentes: se alpha c1+beta c2=0, temos
alpha+3beta=0, -alpha-3beta=0,2alpha+2beta=0
Da primeira alpha=-3beta; na terceira:
2(-3beta)+2beta=-4beta=0;Longrightarrow;beta=0;Rightarrow;alpha=0
Logo c1 e c2 são independentes e formam uma base de Im(T). Assim
Im(T)=span(1,-1,2),,(3,-3,2),
e dimIm(T)=2.

Resposta

ker(T)=(0,0), dimker(T)=0
Im(T)=span(1,-1,2),,(3,-3,2), dimIm(T)=2

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