Nos itens abaixo, defina a transformação linear por e determine o núcleo e a imagem de , bem como suas respectivas dimensões.
Passo 1
O enunciado define TcolonR^2toR^2 por
T(v)=A,v,
com
A=-1 & 1 [6pt] 1 & 1
Precisamos achar o núcleo de T, ou seja, o conjunto v:Av=0, e a imagem de T, ou seja, o subespaço gerado por todas as colunas de A. Também vamos determinar as dimensões desses espaços.]
Passo 2
Para encontrar o núcleo, resolvemos
isto é,
Da primeira equação vem . Substituindo na segunda obtemos
logo . Assim o único vetor no núcleo é o vetor nulo:
e
Passo 3
A imagem de
Para ver que essas colunas são independentes, suponha
Isso gera o sistema
que só admite , ou seja,
Resposta
O núcleo de T é ker T = (0,0) com dim(ker T)=0.
A imagem de T é Im,T = R^2 com dim(Im,T)=2.