Determinar o raio de convergencia das séries de potencias seguintes:
sumn=1 a^n1+b^n x^n com a in R^+* e b in R^+*.

Passo 1

O exercício pede o raio de convergência da série de potências sumn=1^infty a^n1+b^nx^n, onde a>0 e b>0. Vamos usar o teste da raiz para séries de potências.

Passo 2

Para achar o raio de convergência R, lembramos que se cn é o coeficiente geral da série sum cn x^n, então
R = 1limsupntoinfty raiz[n]|cn|

Passo 3

Aqui temos cn = a^n1+b^n. Vamos calcular
raiz[n]|cn| = raiz[n]a^n1+b^n = a(1+b^n)^1/n

Passo 4

Falta então avaliar o limite L = limntoinfty(1+b^n)^1/n. Existem dois casos dependendo de b:
  • Se b>1, então b^n domina e
(1+b^n)^1/nsim (b^n)^1/n = b
- Se 0, então b^n tende a zero ou é constante, e
(1+b^n)^1/nto 1

Passo 5

Portanto o limsup dos radicais é
limsupntoinftyraiz[n]|cn| = aL = ab, & b>1,[6pt]a, & 0

Passo 6

Logo o raio de convergência é
R = 1limsupraiz[n]|cn| = ba, & b>1,[4pt]1a, & 0

Resposta

R = dfracba, & b>1,dfrac1a, & 0

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