Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
sumn=1^+infty 1n x^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série de potências sumn=1^inftytfracx^nn, identificando antes o raio de convergência. O conteúdo envolvido é série de potências, teste da razão e integração termo a termo de séries.

Passo 2

Para encontrar o raio de convergência aplicamos o teste da razão à sequência de termos an=tfracx^nn. Calculamos:
limntoinfty|an+1an|= limntoinfty|x^n+1/(n+1)x^n/n| =limntoinfty|x|nn+1=|x|
Converge se |x|<1, logo o raio de convergência é 1.

Passo 3

Sabendo que para |x|<1 vale sumn=1^infty x^n=x1-x, podemos integrar termo a termo em [0,x] para gerar o fator 1/n. Isto é:
sumn=1^inftyx^nn=sumn=1^inftyintegral0^x t^n-1,dt =integral0^xsumn=1^infty t^n-1,dt =integral0^x11-t,dt =-lnl(1-xr)

Passo 4

Concluímos que, no intervalo de convergência |x|<1, a série soma para -ln(1-x).

Resposta

sumn=1^inftyx^nn=-ln(1-x), |x|<1

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