Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries:
sumn=0^infty 1n^n x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty1n^n,x^n
O conteúdo aqui é séries de potências e o teste da raiz para determinar onde ela converge.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que analisa
L ;=; limntoinftyraiz[n]gl|1n^n,x^ngr| ;=; limntoinfty|x|n ;=; 0
Como L<1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 3

Pela definição de raio de convergência R, temos
R = infty,
pois a série converge em todo R.

Passo 4

Logo, o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

R = infty e intervalo de convergência (-infty,infty).

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