Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série
Aqui o conteúdo principal é o estudo de convergência de séries de potências via o teste da raiz para obter o raio, e depois análise nos extremos pelo teste da série alternante e pelo teste da integral (ou comparação) para decidir a convergência condicional ou divergente.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, fazemos a substituição
e consideramos a série
O
-ésimo termo em valor absoluto é
Pelo teste da raiz,
Logo a série converge absolutamente se
e diverge se
.
Assim, o raio em é
.
Assim, o raio em
Passo 3
Voltando a
, a condição
vira
Isso equivale a
Em torno do centro
dado por
, ou seja
, isso diz
. Portanto o raio de convergência é
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Extremo
.
Então e a série fica
Então
Para
o termo geral em módulo
é decrescente (pois
e
crescem) e tende a zero. Pelo teste da série alternante (Leibniz), essa série converge condicionalmente.
Passo 5
Extremo
.
Então e a série vira
Então
Esta última é a série harmônica logarítmica (para
), e sabemos que
diverge (por comparação com a integral
). Logo diverge.
Resposta
O raio de convergência é
(centro
) e o intervalo de convergência é
com convergência condicional em
e divergência em
. Em notação de intervalo: