Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries:
sumn=1^infty(-1)^n (2 x+3)^nn ln n

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,(2x+3)^nnln n
Aqui o conteúdo principal é o estudo de convergência de séries de potências via o teste da raiz para obter o raio, e depois análise nos extremos pelo teste da série alternante e pelo teste da integral (ou comparação) para decidir a convergência condicional ou divergente.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, fazemos a substituição
y = 2x+3,
e consideramos a série
sumn=1^infty(-1)^n,y^nnln n
O n-ésimo termo em valor absoluto é
an = |y|^nnln n
Pelo teste da raiz,
limntoinftyraiz[n]an =limntoinfty|y|(nln n)^1/n =|y|cdot1 =|y|
Logo a série converge absolutamente se |y|<1 e diverge se |y|>1.
Assim, o raio em y é 1.

Passo 3

Voltando a x, a condição |y|<1 vira
|2x+3|<1
Isso equivale a
-1<2x+3<1 Longrightarrow -4<2x< -2 Longrightarrow -2<x< -1
Em torno do centro x0 dado por 2x0+3=0, ou seja x0=-tfrac32, isso diz |x+3/2|<1/2. Portanto o raio de convergência é
boxedR=tfrac12

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Extremo x=-1.
Então y=2(-1)+3=1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^n1^nnln n =sumn=1^infty(-1)^nnln n
Para n>=2 o termo geral em módulo bn=1/(nln n) é decrescente (pois ln n e n crescem) e tende a zero. Pelo teste da série alternante (Leibniz), essa série converge condicionalmente.

Passo 5

Extremo x=-2.
Então y=2(-2)+3=-1 e a série vira
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nnln n =sumn=1^infty1nln n
Esta última é a série harmônica logarítmica (para n>=2), e sabemos que
sumn=2^infty1nln n
diverge (por comparação com a integral integral2^inftydx/(xln x)). Logo diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=tfrac12 (centro -tfrac32) e o intervalo de convergência é
-2<x<-1
com convergência condicional em x=-1 e divergência em x=-2. Em notação de intervalo:
boxed(-2,,-1]

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