Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries:
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 1n^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir onde ela converge, ou seja, para quais valores de x essa série dá um resultado finito. A série que estamos analisando é:
sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot 1n^x
Estamos lidando com séries alternadas e queremos encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios de convergência de séries, especialmente para séries alternadas e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que nossa série é do tipo alternado porque temos o termo (-1)^n+1, que faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo. Além disso, o termo geral é 1n^x, que depende de x.
Para analisar a convergência, podemos usar o teste da série alternada. Este teste diz que uma série alternada da forma sum (-1)^n bn converge se:
  1. Os bn são decrescentes, ou seja, bn+1 <= bn para todo n.
  2. limn to infty bn = 0.
No nosso caso, bn = 1n^x.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se bn é decrescente. Olhando para bn = 1n^x, percebemos que, à medida que n aumenta, n^x também aumenta (para x > 0), então 1n^x diminui. Portanto, bn é decrescente.
Agora, a segunda condição: limn to infty bn = limn to infty 1n^x = 0, desde que x > 0. Isso significa que, para x > 0, as duas condições do teste da série alternada são satisfeitas.

Passo 4

Então, pela convergência condicional do teste da série alternada, concluímos que a série converge para x > 0.
Mas queremos mais: o intervalo e o raio de convergência. Para isso, vamos analisar a série sem o termo alternado, ou seja, a série sumn=1^infty 1n^x , que é uma série p. Sabemos que uma série p converge se p > 1 , ou seja, se x > 1 .

Passo 5

Resumindo:
  • Para x > 1 , a série sumn=1^infty 1n^x converge, e como é uma série alternada, também converge absolutamente.
  • Para 0 < x <= 1 , a série alternada sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot 1n^x converge, mas não converge absolutamente (isto é, não converge a série dos valores absolutos).
Portanto, o intervalo de convergência é x > 0 , e o raio de convergência não se aplica da mesma forma aqui, já que estamos lidando com uma série em termos de x, não de uma série de potências em termos de x - a.

Resposta

A série converge para todos os valores de x maiores que zero. Portanto, o intervalo de convergência é x > 0 .

Exercícios relacionados