Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir onde ela converge, ou seja, para quais valores de
essa série dá um resultado finito. A série que estamos analisando é:
Estamos lidando com séries alternadas e queremos encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios de convergência de séries, especialmente para séries alternadas e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que nossa série é do tipo alternado porque temos o termo
, que faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo. Além disso, o termo geral é
, que depende de
.
Para analisar a convergência, podemos usar o teste da série alternada. Este teste diz que uma série alternada da forma
converge se:
- Os
são decrescentes, ou seja, para todo . -
.
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se
é decrescente. Olhando para
, percebemos que, à medida que
aumenta,
também aumenta (para
), então
diminui. Portanto,
é decrescente.
Agora, a segunda condição:
, desde que
. Isso significa que, para
, as duas condições do teste da série alternada são satisfeitas.
Passo 4
Então, pela convergência condicional do teste da série alternada, concluímos que a série converge para
.
Mas queremos mais: o intervalo e o raio de convergência. Para isso, vamos analisar a série sem o termo alternado, ou seja, a série
, que é uma série p. Sabemos que uma série p converge se
, ou seja, se
.
Passo 5
Resumindo:
- Para
, a série converge, e como é uma série alternada, também converge absolutamente. - Para
, a série alternada converge, mas não converge absolutamente (isto é, não converge a série dos valores absolutos).
Portanto, o intervalo de convergência é
, e o raio de convergência não se aplica da mesma forma aqui, já que estamos lidando com uma série em termos de
, não de uma série de potências em termos de
.
Resposta
A série converge para todos os valores de
maiores que zero. Portanto, o intervalo de convergência é
.