Encontre uma representação em séries de potências para a função e determine o intervalo de convergência testando os estremos:
Passo 1
O enunciado pede para achar uma representação em séries de potências de
e, em seguida, determinar o intervalo de convergência testando os extremos. O conteúdo principal aqui é a série geométrica e o teste de convergência em pontos de fronteira.
Passo 2
Lembrando que, para qualquer
com
, vale
Basta reconhecer em
a forma
com
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula da série geométrica, obtemos
com a condição de convergência
, isto é,
.
Passo 4
Desse modo, o raio de convergência é
e o intervalo aberto inicial de convergência é
Passo 5
Testando o extremo
, a série vira
cuja soma parcial cresce sem limite, logo diverge.
Passo 6
Testando o extremo
, a série fica
cuja soma parcial oscila entre
e
e não converge. Portanto o exterior não entra no intervalo.
Resposta
A série de potências de
é
e o intervalo de convergência, testando os extremos, é