Encontre uma representação em séries de potências para a função e determine o intervalo de convergência testando os estremos:
f(x)=11-x^3

Passo 1

O enunciado pede para achar uma representação em séries de potências de
f(x)=11 - x^3
e, em seguida, determinar o intervalo de convergência testando os extremos. O conteúdo principal aqui é a série geométrica e o teste de convergência em pontos de fronteira.

Passo 2

Lembrando que, para qualquer r com lvert rrvert<1, vale
11 - r ;=;sumn=0^inftyr^n
Basta reconhecer em f(x) a forma dfrac11 - r com r = x^3.

Passo 3

Substituindo r = x^3 na fórmula da série geométrica, obtemos
11 - x^3 =sumn=0^infty(x^3)^n =sumn=0^inftyx^3n
com a condição de convergência lvert x^3rvert<1, isto é, lvert xrvert<1.

Passo 4

Desse modo, o raio de convergência é R=1 e o intervalo aberto inicial de convergência é
-1 < x < 1

Passo 5

Testando o extremo x=1, a série vira
sumn=0^infty1^3n =sumn=0^infty1,
cuja soma parcial cresce sem limite, logo diverge.

Passo 6

Testando o extremo x=-1, a série fica
sumn=0^infty(-1)^3n =sumn=0^infty(-1)^n,
cuja soma parcial oscila entre 1 e 0 e não converge. Portanto o exterior não entra no intervalo.

Resposta

A série de potências de f(x) é
11 - x^3 =sumn=0^inftyx^3n,
e o intervalo de convergência, testando os extremos, é
-1 < x < 1

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