Pela diferenciação e/ou integração, ache uma representação em séries de potências e encontre o raio e o intervalo de convergência testando os extremos:
Passo 1
O enunciado pede para obter a expansão em série de potências de
em torno de
, além de determinar o raio de convergência e testar o comportamento nos extremos do intervalo. Vamos usar a série conhecida de
e depois multiplicar por
.
Passo 2
Lembramos que, para
, vale a expansão de Maclaurin
Passo 3
Multiplicando essa série por
, obtemos
Podemos reindexar com
, de modo que
, para escrever
Passo 4
O raio de convergência
dessa série é o mesmo de
, ou seja,
Passo 5
Testamos os extremos do intervalo
:
- Em
, a série fica que converge pelo critério da série alternada (e de fato soma , conforme ). - Em
, a série vira que é a série harmônica e diverge. Além disso nem está definido.
Resposta
Para
,
O raio de convergência é
.
O intervalo de convergência é , pois converge em
e diverge em
.
O intervalo de convergência é