Pela diferenciação e/ou integração, ache uma representação em séries de potências e encontre o raio e o intervalo de convergência testando os extremos:
f(x)=x ln (x+1)

Passo 1

O enunciado pede para obter a expansão em série de potências de f(x)=xln(1+x) em torno de x=0, além de determinar o raio de convergência e testar o comportamento nos extremos do intervalo. Vamos usar a série conhecida de ln(1+x) e depois multiplicar por x.

Passo 2

Lembramos que, para lvert xrvert<1, vale a expansão de Maclaurin
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^,n-1,x^nn

Passo 3

Multiplicando essa série por x, obtemos
xln(1+x) = xsumn=1^infty(-1)^,n-1,x^nn =sumn=1^infty(-1)^,n-1,x^n+1n
Podemos reindexar com m=n+1, de modo que n=m-1, para escrever
xln(1+x) =summ=2^infty(-1)^,m-2,x^mm-1

Passo 4

O raio de convergência R dessa série é o mesmo de ln(1+x), ou seja,
R=1

Passo 5

Testamos os extremos do intervalo [-1,1]:
  1. Em x=1, a série fica sumn=1^infty(-1)^,n-1,1^,n+1n =sumn=1^infty(-1)^,n-1,1n, que converge pelo critério da série alternada (e de fato soma ln2, conforme f(1)=ln2).
  2. Em x=-1, a série vira sumn=1^infty(-1)^,n-1,(-1)^,n+1n =sumn=1^infty1n, que é a série harmônica e diverge. Além disso f(-1) nem está definido.

Resposta

Para lvert xrvert<1,
xln(1+x) =sumn=1^infty(-1)^,n-1,x^n+1n =summ=2^infty(-1)^,m-2,x^mm-1
O raio de convergência é R=1.
O intervalo de convergência é (-1,1], pois converge em x=1 e diverge em x=-1.

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