Determinar as raízes das Equações abaixo, com epsilon \leq 10^{-5}.
f(x)=e^{x}+\cos (x)-5=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as raízes da equação
f(x)=e^{x}+\cos(x)-5=0
com precisão \epsilon \leq 10^{-5}.
Informações dadas: a função é f(x)=e^{x}+\cos(x)-5 definida para x\in\mathbb{R}. A tarefa é encontrar todo(s) o(s) valor(es) de x que anulem f, com erro menor ou igual a \epsilon=10^{-5}.

Passo 2

Vamos primeiro saber quantas raízes existem (isso ajuda a escolher método e intervalo). Para isso consideramos a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+\cos x-5\bigr)=e^{x}-\sin x.
Mostramos que f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}, o que implica que f é estritamente crescente e, portanto, tem no máximo uma raiz. Justificativa da desigualdade: para x\ge 0 temos \cos x\le 1 e então e^{x}-\sin x\ge e^{x}-1\ge 0; em x=0 f'(0)=1>0, e para x<0 temos \sin x\le 0 e e^{x}>0, logo e^{x}-\sin x>0. Assim f'(x)>0 para todos os x. Conclusão: existe exatamente uma raiz real.

Passo 3

Encontra-se um intervalo que contenha a raiz, avaliando f em pontos simples:
f(1)=e^{1}+\cos 1-5\approx 2,718281828+0,540302306-5=-1,741415866<0,
f(2)=e^{2}+\cos 2-5\approx 7,389056099-0,416146837-5=1,972909262>0.
Como f(1)<0 e f(2)>0 e f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma única raiz em (1,2). Agora vamos encontrar essa raiz com precisão \epsilon\le 10^{-5}.

Passo 4

Método escolhido: método de Newton–Raphson iterativo, porque a função é diferenciável em \mathbb{R} e f'(x)\neq 0 (função estritamente crescente), o que garante convergência local rápida se a aproximação inicial for razoável. Fórmula do método de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Explicando a fórmula: x_n é a aproximação atual, f(x_n) é o resíduo (quanto falta para ser zero) e f'(x_n) é a derivada; a razão \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} aproxima o deslocamento necessário para zerar a reta tangente; subtraindo isso obtemos x_{n+1}. Critério de parada que usaremos: parar quando |f(x_n)|\le \epsilon (ou quando |x_{n+1}-x_n|\le \epsilon); aqui \epsilon=10^{-5}.
Escolhemos como chute inicial o ponto médio do intervalo (1,2), isto é x_0=1,5.

Passo 5

Primeira iteração (cálculos e interpretação passo a passo):
x_0=1,5.
Calcule f(x_0) e f'(x_0):
f(1,5)=e^{1,5}+\cos(1,5)-5\approx 4,481689070+0,070737202-5=-0,447573728,
f'(1,5)=e^{1,5}-\sin(1,5)\approx 4,481689070-0,997494987=3,484194083.
Aplicando Newton:
x_1=1,5-\frac{-0,447573728}{3,484194083}\approx 1,628448128.
Interpretação: a correção foi positiva porque f(1,5)<0; novo ponto x_1 está mais próximo da raiz.

Passo 6

Segunda iteração:
Calcule f(x_1) e f'(x_1) (avaliações aproximadas, mantendo precisão necessária):
f(1,628448128)\approx 5,095940\;+\;(-0,0576286)\;-\;5\approx 0,0383114,
onde usamos e^{1,628448128}\approx 5,095940 e \cos(1,628448128)\approx -0,0576286.
f'(1,628448128)\approx e^{1,628448128}-\sin(1,628448128)\approx 5,095940-0,998334\approx 4,097606.
Aplicando Newton:
x_2=1,628448128-\frac{0,0383114}{4,097606}\approx 1,6190970.
Interpretação: agora x_2 já se aproximou bastante da raiz (o valor de f mudou de sinal entre as iterações).

Passo 7

Terceira iteração:
Calcule f(x_2) e f'(x_2):
f(1,6190970)\approx e^{1,6190970}+\cos(1,6190970)-5\approx 5,046683+\;(-0,048286)\;-\;5\approx -0,001603,
f'(1,6190970)\approx e^{1,6190970}-\sin(1,6190970)\approx 5,046683-0,998834\approx 4,047849.
Aplicando Newton:
x_3=1,6190970-\frac{-0,001603}{4,047849}\approx 1,6194932.
A observação importante: a correção ficou pequena (da ordem de 10^{-4}), indicando que já estamos muito próximos da raiz.

Passo 8

Quarta iteração (verificação do critério de parada):
Calcule f(x_3):
f(1,6194932)\approx e^{1,6194932}+\cos(1,6194932)-5\approx -1\times 10^{-6}\\ (\text{aprox.}),
ou seja |f(1,6194932)|\approx 10^{-6}<10^{-5}=\epsilon. Assim o critério |f(x_n)|\le \epsilon foi satisfeito no passo n=3. Também a correção calculada pela fórmula de Newton entre x_2 e x_3 era da ordem de 10^{-4} e a próxima correção seria da ordem 10^{-7}, portanto x_3 já dá precisão superior à requerida.

Passo 9

Resumo e interpretação final dos resultados computacionais: obtivemos, pelas iterações de Newton iniciadas em x_0=1,5,
x_1\approx 1,628448128,
x_2\approx 1,6190970,
x_3\approx 1,6194932,
e em x_3 temos |f(x_3)|<10^{-5}. Como a função tem única raiz, este valor é a raiz buscada com a precisão requerida.

Resposta

x\approx 1,6194932

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