Determinar as raízes das Equações abaixo, com
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as raízes da equação
com precisão
.
Informações dadas: a função é definida para
. A tarefa é encontrar todo(s) o(s) valor(es) de
que anulem
, com erro menor ou igual a
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos primeiro saber quantas raízes existem (isso ajuda a escolher método e intervalo). Para isso consideramos a derivada
Mostramos que
para todo
, o que implica que
é estritamente crescente e, portanto, tem no máximo uma raiz. Justificativa da desigualdade: para
temos
e então
; em
dá
, e para
temos
e
, logo
. Assim
para todos os
. Conclusão: existe exatamente uma raiz real.
Passo 3
Encontra-se um intervalo que contenha a raiz, avaliando
em pontos simples:
Como
e
e
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma única raiz em
. Agora vamos encontrar essa raiz com precisão
.
Passo 4
Método escolhido: método de Newton–Raphson iterativo, porque a função é diferenciável em
e
(função estritamente crescente), o que garante convergência local rápida se a aproximação inicial for razoável. Fórmula do método de Newton:
Explicando a fórmula:
é a aproximação atual,
é o resíduo (quanto falta para ser zero) e
é a derivada; a razão
aproxima o deslocamento necessário para zerar a reta tangente; subtraindo isso obtemos
. Critério de parada que usaremos: parar quando
(ou quando
); aqui
.
Escolhemos como chute inicial o ponto médio do intervalo
, isto é
.
Passo 5
Primeira iteração (cálculos e interpretação passo a passo):
Calcule
e
:
Aplicando Newton:
Interpretação: a correção foi positiva porque
; novo ponto
está mais próximo da raiz.
Passo 6
Segunda iteração:
Calcule e
(avaliações aproximadas, mantendo precisão necessária):
Calcule
onde usamos
e
.
Aplicando Newton:
Interpretação: agora
já se aproximou bastante da raiz (o valor de
mudou de sinal entre as iterações).
Passo 7
Terceira iteração:
Calcule e
:
Calcule
Aplicando Newton:
A observação importante: a correção ficou pequena (da ordem de
), indicando que já estamos muito próximos da raiz.
Passo 8
Quarta iteração (verificação do critério de parada):
Calcule :
Calcule
ou seja
. Assim o critério
foi satisfeito no passo
. Também a correção calculada pela fórmula de Newton entre
e
era da ordem de
e a próxima correção seria da ordem
, portanto
já dá precisão superior à requerida.
Passo 9
Resumo e interpretação final dos resultados computacionais: obtivemos, pelas iterações de Newton iniciadas em
,
e em
temos
. Como a função tem única raiz, este valor é a raiz buscada com a precisão requerida.