Para se determinar a resistência oposta pelas ondas a um barco, fazem-se ensaios em laboratório em um tanque de provas, com um modelo reduzido na escala 1: 25. Se a velocidade máxima que o protótipo desenvolverá é de 37 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, qual deve ser a velocidade desenvolvida no modelo para se obter ondas dinamicamente semelhantes às reais. Se a resistência oposta ao modelo é 2,27 \mathrm{~N}, que valor terá no protótipo?

Passo 1

O enunciado trata de similitude de ondas em ensaios de um barco em escala. Temos um modelo na escala \lambda = 1:25 e queremos que o número de Froude
\mathrm{Fr} \;=\;\frac{V}{\sqrt{g\,L}}
seja o mesmo no modelo e no protótipo. Sabendo que a velocidade máxima do protótipo é \,37\;\mathrm{km/h}, vamos achar a velocidade V_m do modelo e depois escalar a resistência de R_m=2,27\;\mathrm{N} para o protótipo.

Passo 2

Para ter igual número de Froude no modelo e no protótipo impõe-se
\frac{V_m}{\sqrt{g\,L_m}} \;=\; \frac{V_p}{\sqrt{g\,L_p}}
e como L_p = \lambda\,L_m com \lambda=25, segue
V_m = V_p\;\sqrt{\frac{L_m}{L_p}} \;=\; V_p\;\sqrt{\frac{1}{25}} \;=\; \frac{V_p}{5}.

Passo 3

A velocidade do protótipo é V_p=37\;\mathrm{km/h}. Logo
V_m = \frac{37}{5}\;\mathrm{km/h} = 7{,}4\;\mathrm{km/h}.
Em unidades SI isso equivale a
V_m = 7{,}4\times\frac{1000}{3600}\;\mathrm{m/s}\approx 2{,}06\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Sob similitude de Froude, a resistência de ondas escala segundo análise dimensional como
R \;\propto\;\rho\,g\,L^3,
isto é, mantém-se a função de \mathrm{Fr} fixa e varia-se apenas a escala linear. Como \rho e g são os mesmos no modelo e no protótipo, temos
\frac{R_p}{R_m} = \left(\frac{L_p}{L_m}\right)^3 = \lambda^3 = 25^3 = 15625.

Passo 5

Dado R_m = 2{,}27\;\mathrm{N}, a resistência no protótipo será
R_p = R_m \times 15625 = 2{,}27 \times 15625 \approx 3,5469\times 10^4\;\mathrm{N}.

Resposta

A velocidade do modelo deve ser 7{,}4\;\mathrm{km/h} (aprox.\ 2{,}06\;\mathrm{m/s}) e a resistência no protótipo será cerca de 3,55\times10^4\;\mathrm{N}.

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