A força de inércia medida no casco de um navio, devido às ondas é de 16 N a uma velocidade de 240 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Para um protótipo 15 vezes maior, qual será a correspondente velocidade se o fluido usado nos dois casos é o mesmo. Calcule também a força no protótipo.

Passo 1

O enunciado nos dá um modelo em que a força de inércia medida é F_{m}=16\\ \mathrm{N} à velocidade de V_{m}=240\\ \mathrm{cm/s}. O protótipo tem o comprimento linear 15 vezes maior que o modelo, ou seja,
L_{p} = 15\,L_{m}.
Para que o escoamento seja dinamicamente semelhante em ondas (onde a gravidade domina), usamos a semelhança Froude, que exige igualdade do número de Froude
Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}.

Passo 2

Igualando os números de Froude do modelo e do protótipo:
\frac{V_{m}}{\sqrt{g\,L_{m}}} = \frac{V_{p}}{\sqrt{g\,L_{p}}} \quad\Longrightarrow\quad V_{p} = V_{m}\,\sqrt{\frac{L_{p}}{L_{m}}} = V_{m}\,\sqrt{15}.
Substituindo V_{m}=240\\ \mathrm{cm/s}:
V_{p} =240\\ \mathrm{cm/s}\times\sqrt{15} \approx240\times3{,}873 \approx930\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 3

Para a força de inércia, temos
F\sim \rho\,L^{3}\,a,
onde a massa de fluido inercial escala como \rho\,L^{3} e a aceleração a\sim V^{2}/L fica invariante sob semelhança de Froude. Logo, a força escala como
\frac{F_{p}}{F_{m}} =\Bigl(\frac{L_{p}}{L_{m}}\Bigr)^{3} =15^{3}.

Passo 4

Calculando numericamente:
F_{p} =F_{m}\times15^{3} =16\\ \mathrm{N}\times3375 =54000\\ \mathrm{N}.

Resposta

V_{p}\approx930\\ \mathrm{cm/s} F_{p}\approx5{,}4\times10^{4}\\ \mathrm{N}

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