Determinar a reta perpendicular a 2x-5y=3 pelo ponto P(-2 ; 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que é perpendicular à reta 2x - 5y = 3 e que passa pelo ponto P(-2; 3). Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, especificamente sobre inclinações de retas e como encontrar retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta 2x - 5y = 3. Para isso, vamos colocar essa equação na forma y = mx + b, onde m é a inclinação.
Começando:
2x - 5y = 3 -5y = -2x + 3 y = 25x - 35
Então, a inclinação m da reta dada é 25.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta perpendicular. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1. Ou seja, se m1 é a inclinação da primeira reta, a inclinação da perpendicular m2 é:
m1 times m2 = -1 25 times m2 = -1 m2 = -52
Então, a inclinação da reta perpendicular é -52.

Passo 4

Com a inclinação -52 e sabendo que a reta passa pelo ponto P(-2; 3), vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo m = -52, x1 = -2 e y1 = 3:
y - 3 = -52(x - (-2)) y - 3 = -52(x + 2)

Passo 5

Vamos simplificar a equação para a forma padrão Ax + By = C:
y - 3 = -52x - 5 y = -52x - 5 + 3 y = -52x - 2
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
2y = -5x - 4 5x + 2y = -4

Resposta

A equação da reta perpendicular a 2x - 5y = 3 que passa pelo ponto P(-2 ; 3) é:
5x + 2y = -4

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