Encontre a equação da reta s, perpendicular à reta t: 2x+3y-4=0, sabendo que ela passa pelo ponto P(3,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica. A gente precisa encontrar a equação de uma reta s que é perpendicular à reta t dada por 2x + 3y - 4 = 0 e que passa pelo ponto P(3,4) . Para isso, vamos lembrar como encontrar a inclinação (coeficiente angular) de uma reta e usar a propriedade de perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta t . A equação está na forma geral Ax + By + C = 0 . Para achar a inclinação, a gente rearranja para a forma y = mx + b , onde m é o coeficiente angular.
Então, começamos com:
2x + 3y - 4 = 0
Isolando y :
3y = -2x + 4
y = -23x + 43
Então, o coeficiente angular de t é mt = -23 .

Passo 3

Agora, como queremos uma reta s que seja perpendicular à reta t , precisamos lembrar que, se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus coeficientes angulares é -1. Ou seja:
ms cdot mt = -1
Substituindo mt :
ms cdot (-23) = -1
Resolvendo para ms :
ms = 32

Passo 4

Com o coeficiente angular ms = 32 e sabendo que a reta s passa pelo ponto P(3,4) , vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Onde (x1, y1) = (3,4) e m = 32 .
Substituindo:
y - 4 = 32(x - 3)

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para a forma geral:
y - 4 = 32x - 92
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
2y - 8 = 3x - 9
Rearranjando:
3x - 2y -1 = 0

Resposta

A equação da reta s é 3x - 2y -1 = 0 .

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