Determine a equação geral da reta tangente à curva no ponto de abscissa 1.
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva e precisa achar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é o ponto na curva quando . Basta substituir 1 na equação da função:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função , que nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto .
A derivada de em relação a é:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar a inclinação da tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 3.
Passo 5
Com a inclinação m = 3 e o ponto de tangência (1, 2) , vamos usar a fórmula da reta tangente, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo os valores:
y - 2 = 3(x - 1)
Vamos simplificar essa equação para a forma geral:
y - 2 = 3x - 3 y = 3x - 3 + 2 y = 3x - 1
Resposta
A equação geral da reta tangente à curva y = x^2 + x no ponto de abscissa 1 é