Determine a equação geral da reta tangente à curva y=x^2+x no ponto de abscissa 1.

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva y = x^2 + x e precisa achar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde x = 1 . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é o ponto na curva quando x = 1 . Basta substituir 1 na equação da função:
y = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
Então, o ponto de tangência é (1, 2) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da função y = x^2 + x , que nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto x .
A derivada de y em relação a x é:
dydx = 2x + 1

Passo 4

Vamos avaliar a derivada no ponto x = 1 para encontrar a inclinação da tangente:
dydx|x=1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3
Então, a inclinação da reta tangente é 3.

Passo 5

Com a inclinação m = 3 e o ponto de tangência (1, 2) , vamos usar a fórmula da reta tangente, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo os valores:
y - 2 = 3(x - 1)
Vamos simplificar essa equação para a forma geral:
y - 2 = 3x - 3 y = 3x - 3 + 2 y = 3x - 1

Resposta

A equação geral da reta tangente à curva y = x^2 + x no ponto de abscissa 1 é
y = 3x - 1

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