Determinar u cdot v+u cdot w+v cdot w, sabendo que u+v+w=0, |u|=2, |v|=3 e
|w|=raiz5

Passo 1

O enunciado dá que vec u+vec v+vec w=vec 0 e os módulos l|vec ur|=2, l|vec vr|=3 e l|vec wr|=raiz5. Queremos calcular
S=vec ucdotvec v+vec ucdotvec w+vec vcdotvec w
Para isso vamos usar a identidade do quadrado da soma de vetores.

Passo 2

A identidade diz que, para três vetores vec a,vec b,vec c,
l|vec a+vec b+vec cr|^2 =|vec a|^2+|vec b|^2+|vec c|^2 +2l(vec acdotvec b+vec acdotvec c+vec bcdotvec cr)
No nosso caso vec a=vec u, vec b=vec v, vec c=vec w e |vec u+vec v+vec w|=0.

Passo 3

Substituindo na identidade, obtemos
0^2 = |vec u|^2+|vec v|^2+|vec w|^2 +2l(vec ucdotvec v+vec ucdotvec w+vec vcdotvec wr)

Passo 4

Como |vec u|^2=2^2=4, |vec v|^2=3^2=9 e |vec w|^2=(raiz5)^2=5, a soma dos quadrados é
4+9+5=18
Logo a equação fica
0 = 18 + 2S

Passo 5

Resolvendo para S, temos
2S = -18 Longrightarrow S = -9

Resposta

-9

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