Sabendo que |u|=2,|v|=3 e que u e v formam um ângulo de 3 pi4 rad, determinar |(2 u-v) cdot(u-2 v)|.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores u e v tais que lverturvert=2, lvertvrvert=3 e o ângulo entre eles é 3pi4. Pede-se o valor absoluto do produto escalar (2u-v)cdot(u-2v). Para resolver, vamos usar a propriedade bilinear do produto escalar e a fórmula
ucdotv = lverturvert,lvertvrvertcostheta

Passo 2

Aplicamos a distributividade do produto escalar a
(2u-v)cdot(u-2v)
Isso dá a soma dos produtos termo a termo:
(2u)cdotu + (2u)cdot(-2v) + (-v)cdotu + (-v)cdot(-2v)

Passo 3

Agora agrupamos e identificamos cada produto escalar:
(2u)cdotu = 2(ucdotu), (2u)cdot(-2v) = -4(ucdotv),
(-v)cdotu = -(vcdotu) = -(ucdotv), (-v)cdot(-2v) = 2(vcdotv)
Somando, obtemos
(2u-v)cdot(u-2v) = 2(ucdotu) - 4(ucdotv) - (ucdotv) + 2(vcdotv)
= 2lverturvert^2 -5(ucdotv) +2lvertvrvert^2

Passo 4

Substituímos lverturvert=2, lvertvrvert=3 e ucdotv = lverturvert,lvertvrvertcosl(tfrac3pi4r). Como cosl(tfrac3pi4r)=-tfracraiz22, temos
ucdotv = 2cdot3cdotl(-tfracraiz22r) = -3raiz2

Passo 5

Calcamos então
2lverturvert^2 = 2cdot(2)^2 = 8, 2lvertvrvert^2 = 2cdot(3)^2 = 18,
-5(ucdotv) = -5l(-3raiz2r) = 15raiz2
Portanto
(2u-v)cdot(u-2v) = 8 + 18 + 15raiz2 = 26 + 15raiz2

Passo 6

Como 26 + 15raiz2 é positivo, o valor absoluto é o próprio número:
llvert(2u-v)cdot(u-2v)rrvert = 26 + 15raiz2

Resposta

26 + 15raiz2

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