Se T: R^2 R^3 é uma transformação linear tal que T(1,-1)=(2,-2,4), T(2,1)=(1,-1,2)
b) Determinar Im(T) (imagem de T ) e uma base para esse subespaço.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear
T: R^2 to R^3
com
T(1,-1) = (2,-2,4), T(2,1) = (1,-1,2)
Queremos encontrar Im(T) e uma base desse subespaço.
Sabemos que a imagem de T é o subespaço gerado pelas imagens de uma base de R^2.

Passo 2

Os vetores (1,-1) e (2,1) são linearmente independentes em R^2, pois a única solução de
a,(1,-1) + b,(2,1) = (0,0)
é a=b=0.
Logo eles formam uma base de R^2 e
Im(T) = spanT(1,-1),,T(2,1) = span(2,-2,4),,(1,-1,2)

Passo 3

Para ver a dimensão de Im(T), verificamos se os dois vetores em R^3 são independentes. Note que
(1,-1,2) = tfrac12,(2,-2,4),
ou seja, ambos são múltiplos entre si. Portanto são linearmente dependentes e geram uma reta em R^3.

Passo 4

Concluímos que
Im(T) = span(2,-2,4)
é um subespaço de dimensão 1. Uma base natural é o vetor (2,-2,4).

Resposta

Im(T) = ,t,(2,-2,4)mid tinR.
Uma base de Im(T) é (2,-2,4).

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