Se
é uma transformação linear tal que
c) Determinar
(núcleo de
) e uma base para esse subespaço.
c) Determinar
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
,
com
,
,
e pede o núcleo de , isto é
,
além de uma base para esse subespaço.
com
e pede o núcleo de
além de uma base para esse subespaço.
Passo 2
Vamos encontrar primeiro
e
, onde
e
. Defina
,
.
Como
Como
somando as duas equações obtemos
logo
Subtraindo da primeira equação,
logo
Passo 3
Por linearidade, para
vale
Agrupando,
Note que todos os componentes são múltiplos de
.
Passo 4
Para achar o núcleo, impomos
, ou seja
Isso dá a única condição
, isto é
. Portanto
Passo 5
Como quaisquer vetores do núcleo têm a forma
, uma base de
é simplesmente
Resposta
base de
:
.