Se T: R^2 R^3 é uma transformação linear tal que T(1,-1)=(2,-2,4), T(2,1)=(1,-1,2)
c) Determinar N(T) (núcleo de T ) e uma base para esse subespaço.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:R^2toR^3,
com
T(1,-1)=(2,-2,4),
T(2,1)=(1,-1,2),
e pede o núcleo de T, isto é
N(T)=(x,y)inR^2mid T(x,y)=0,
além de uma base para esse subespaço.

Passo 2

Vamos encontrar primeiro T(e1) e T(e2), onde e1=(1,0) e e2=(0,1). Defina
;u=T(e1),
;v=T(e2).
Como
T(1,-1)=T(e1)-T(e2)=u-v=(2,-2,4),
T(2,1)=2,T(e1)+T(e2)=2u+v=(1,-1,2),
somando as duas equações obtemos
3u=(2,-2,4)+(1,-1,2)=(3,-3,6),
logo
u=T(e1)=(1,-1,2)
Subtraindo da primeira equação,
v=u-(2,-2,4)=(-1,1,-2),
logo
T(e2)=(-1,1,-2)

Passo 3

Por linearidade, para (x,y)inR^2 vale
T(x,y)=x,T(e1)+y,T(e2) =x(1,-1,2)+y(-1,1,-2)
Agrupando,
T(x,y)=(x-y,,-x+y,;2x-2y)
Note que todos os componentes são múltiplos de x-y.

Passo 4

Para achar o núcleo, impomos T(x,y)=0, ou seja
(x-y,,-x+y,;2(x-y))=(0,0,0)
Isso dá a única condição x-y=0, isto é x=y. Portanto
N(T)=(x,x)mid xinR

Passo 5

Como quaisquer vetores do núcleo têm a forma (x,x)=x(1,1), uma base de N(T) é simplesmente
(1,1)

Resposta

N(T)=(x,x)mid xinR,
base de N(T): (1,1).

Exercícios relacionados