Se é uma transformação linear tal que
a) Mostre que o conjunto é uma base de e encontre a expressão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o conjunto é uma base para e, depois, encontrar a expressão da transformação linear . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como expressar uma transformação linear usando essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que é uma base de . Para isso, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles conseguem “gerar” todo o espaço .
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Isso dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, da segunda equação temos -a + b = 0 Rightarrow b = a . Substituindo na primeira equação:
a + 2a = 0 Rightarrow 3a = 0 Rightarrow a = 0 Rightarrow b = 0
Como a única solução é a = b = 0 , os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos dois vetores linearmente independentes em R^2, eles também geram todo o espaço. Portanto, (1, -1), (2, 1) é uma base de R^2.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a expressão da transformação linear T(x, y). Como T é linear, podemos expressar qualquer vetor (x, y) em termos da base (1, -1), (2, 1). Precisamos encontrar coeficientes alpha e beta tais que:
(x, y) = alpha(1, -1) + beta(2, 1)
Isso nos dá o sistema:
alpha + 2beta = x - alpha + beta = y
Passo 6
Resolvendo o sistema para alpha e beta. Da segunda equação:
- alpha + beta = y Rightarrow alpha = beta - y
Substituindo na primeira equação:
(beta - y) + 2beta = x Rightarrow 3beta - y = x Rightarrow 3beta = x + y Rightarrow beta = x + y3
Agora, alpha = beta - y = x + y3 - y = x + y - 3y3 = x - 2y3
Passo 7
Sabendo disso, podemos expressar T(x, y) como combinação linear das imagens dos vetores da base:
T(x, y) = alpha T(1, -1) + beta T(2, 1)
Substituindo os valores conhecidos:
T(x, y) = x - 2y3(2, -2, 4) + x + y3(1, -1, 2)
Passo 8
Vamos calcular essa combinação:
T(x, y) = ( x - 2y3 cdot 2 + x + y3 cdot 1, x - 2y3 cdot (-2) + x + y3 cdot (-1), x - 2y3 cdot 4 + x + y3 cdot 2 )