Se T: R^2 R^3 é uma transformação linear tal que T(1,-1)=(2,-2,4), T(2,1)=(1,-1,2)
a) Mostre que o conjunto (1,-1),(2,1) é uma base de R^2 e encontre a expressão de T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o conjunto (1, -1), (2, 1) é uma base para R^2 e, depois, encontrar a expressão da transformação linear T(x, y). Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como expressar uma transformação linear usando essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que (1, -1), (2, 1) é uma base de R^2. Para isso, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles conseguem “gerar” todo o espaço R^2.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
a(1, -1) + b(2, 1) = (0, 0)
Isso dá o sistema de equações:
a + 2b = 0 - a + b = 0
Resolvendo esse sistema, da segunda equação temos -a + b = 0 Rightarrow b = a . Substituindo na primeira equação:
a + 2a = 0 Rightarrow 3a = 0 Rightarrow a = 0 Rightarrow b = 0
Como a única solução é a = b = 0 , os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos dois vetores linearmente independentes em R^2, eles também geram todo o espaço. Portanto, (1, -1), (2, 1) é uma base de R^2.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a expressão da transformação linear T(x, y). Como T é linear, podemos expressar qualquer vetor (x, y) em termos da base (1, -1), (2, 1). Precisamos encontrar coeficientes alpha e beta tais que:
(x, y) = alpha(1, -1) + beta(2, 1)
Isso nos dá o sistema:
alpha + 2beta = x - alpha + beta = y

Passo 6

Resolvendo o sistema para alpha e beta. Da segunda equação:
- alpha + beta = y Rightarrow alpha = beta - y
Substituindo na primeira equação:
(beta - y) + 2beta = x Rightarrow 3beta - y = x Rightarrow 3beta = x + y Rightarrow beta = x + y3
Agora, alpha = beta - y = x + y3 - y = x + y - 3y3 = x - 2y3

Passo 7

Sabendo disso, podemos expressar T(x, y) como combinação linear das imagens dos vetores da base:
T(x, y) = alpha T(1, -1) + beta T(2, 1)
Substituindo os valores conhecidos:
T(x, y) = x - 2y3(2, -2, 4) + x + y3(1, -1, 2)

Passo 8

Vamos calcular essa combinação:
T(x, y) = ( x - 2y3 cdot 2 + x + y3 cdot 1, x - 2y3 cdot (-2) + x + y3 cdot (-1), x - 2y3 cdot 4 + x + y3 cdot 2 )
Simplificando cada componente:
T(x, y) = ( 2(x - 2y) + (x + y)3, -2(x - 2y) - (x + y)3, 4(x - 2y) + 2(x + y)3 )
T(x, y) = ( 3x - 3y3, -3x + 3y3, 6x - 6y3 ) = (x - y, -x + y, 2x - 2y)

Resposta

A transformação linear T(x, y) é dada por:
T(x, y) = (x - y, -x + y, 2x - 2y)

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