Determinar se o seguinte conjunto é um espaço vetorial. Se não for, explique qual propriedade não satisfaz. com a soma e a multiplicação por escalar usual.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se , equipado com a soma
e a multiplicação por escalar usual, é um espaço vetorial. Precisamos revisar os axiomas de espaço vetorial: (i) propriedades de grupo abeliano em relação à adição modificada e (ii) compatibilidade da multiplicação escalar com essa adição.
Passo 2
Verificamos primeiro as propriedades de adição:
Fechamento: Como x+x'+1 e y+y'+1 são números reais, a soma fica em R^2.
Comutatividade:
x+x'+1 = x'+x+1, y+y'+1 = y'+y+1,
logo uoplus v= voplus u.
3. Associatividade: Para u=(x,y), v=(x',y'), w=(x'',y''):
( uoplus v)oplus w =l((x+x'+1)+x''+1,,(y+y'+1)+y''+1r) =(x+x'+x''+2,;y+y'+y''+2),