Determinar se o seguinte conjunto é um espaço vetorial. Se não for, explique qual propriedade não satisfaz.
R^2 com a soma [lx y] oplus[lx^prime y^prime]=[lx+x^prime+1 y+y^prime+1] e a multiplicação por escalar usual.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se , equipado com a soma
e a multiplicação por escalar usual, é um espaço vetorial. Precisamos revisar os axiomas de espaço vetorial: (i) propriedades de grupo abeliano em relação à adição modificada e (ii) compatibilidade da multiplicação escalar com essa adição.

Passo 2

Verificamos primeiro as propriedades de adição:
  1. Fechamento: Como x+x'+1 e y+y'+1 são números reais, a soma fica em R^2.
  2. Comutatividade:
x+x'+1 = x'+x+1, y+y'+1 = y'+y+1,
logo uoplus v= voplus u.
3. Associatividade: Para u=(x,y), v=(x',y'), w=(x'',y''):
( uoplus v)oplus w =l((x+x'+1)+x''+1,,(y+y'+1)+y''+1r) =(x+x'+x''+2,;y+y'+y''+2),
uoplus( voplus w) =l(x+(x'+x''+1)+1,;y+(y'+y''+1)+1r) =(x+x'+x''+2,;y+y'+y''+2),
logo a adição é associativa.

Passo 3

Calculamos o elemento neutro 0 e o inverso aditivo:
  • Queremos uoplus 0= u. Se 0=(a,b), então (x+a+1,y+b+1)=(x,y)implies a=-1,;b=-1 Logo 0 =(-1,-1).
  • Para o inverso de u=(x,y), achamos w=(u,v) tal que (x+u+1,y+v+1)=(-1,-1)implies u=-2-x,;v=-2-y Portanto todo vetor tem inverso aditivo.
Até aqui temos um grupo abeliano em relação a oplus.

Passo 4

Agora testamos a distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição modificada. Se lambdainR e u, vinR^2,
lambdaodot( uoplus v) =lambdaodotl(x+x'+1,;y+y'+1r) =l(lambda(x+x'+1),;lambda(y+y'+1)r)
Por outro lado,
lambdaodot u;oplus;lambdaodot v =l(lambda x,lambda yr) oplusl(lambda x',lambda y'r) =l(lambda x+lambda x'+1,;lambda y+lambda y'+1r)
Para serem iguais precisaria
lambda(x+x'+1)=lambda x+lambda x'+1forall x,x',lambda,
o que exigiria lambda=1 ou 1=0. Logo a igualdade não vale para todo lambda.

Passo 5

Como falha a propriedade de distributividade lambdaodot( uoplus v)=lambdaodot u;oplus;lambdaodot v, não temos espaço vetorial.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial porque não satisfaz a distributividade da multiplicação escalar sobre a adição modificada.

Exercícios relacionados