Seja
uma matriz e seja
. Mostre que
é um subespaço de
.
é chamado de subespaço nulo da matriz
.
Passo 1
O enunciado define
onde é uma matriz
. Queremos mostrar que
é subespaço de
. Para isso, usamos o critério padrão de subespaço:
onde
- O vetor zero deve pertencer a
. -
deve ser fechado para soma de vetores. -
deve ser fechado para multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
. Como
é linear,
ou seja,
em
. Logo
.
Passo 3
Fechamento para soma. Sejam
. Então
portanto
.
Passo 4
Fechamento para multiplicação escalar. Seja
e
. Então
portanto
.