Seja Am times n uma matriz e seja H=x in R^n mid A x=0. Mostre que H é um subespaço de R^n. H é chamado de subespaço nulo da matriz A.

Passo 1

O enunciado define
H=xinR^nmid Ax=0
onde A é uma matriz mtimes n. Queremos mostrar que H é subespaço de R^n. Para isso, usamos o critério padrão de subespaço:
  1. O vetor zero deve pertencer a H.
  2. H deve ser fechado para soma de vetores.
  3. H deve ser fechado para multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que 0in H. Como A é linear,
A0= 0,
ou seja, A0=0 em R^m. Logo 0in H.

Passo 3

Fechamento para soma. Sejam x,yin H. Então
A(x+y) = Ax+Ay = 0 + 0 = 0,
portanto x+yin H.

Passo 4

Fechamento para multiplicação escalar. Seja alphainR e xin H. Então
A(alphax) = alpha,(Ax) = alphacdot 0 = 0,
portanto alphaxin H.

Resposta

H satisfaz todas as condições de subespaço de R^n, logo é de fato um subespaço (chamado subespaço nulo de A).

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