Determinar se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço.
V=R^2 ; H=(x, y) mid x=3, y in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V=R^2
e
H=(x,y)mid x=3,;yinR
fazem de H um subespaço de V.
O critério para um subconjunto H ser subespaço de V é checar 1. se ele contém o vetor zero de V, 2. se é fechado sob soma de vetores e 3. se é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificando o vetor zero de V:
O vetor zero em R^2 é (0,0). Para estar em H precisaríamos ter x=3, mas em (0,0) temos x=0neq3.
Logo
(0,0)notin H
e já falhamos na condição 1..

Passo 3

Para ilustrar, veja que também falha a condição de fechamento:
  • Soma: se (3,y1)in H e (3,y2)in H, então
(3,y1)+(3,y2)=(6,y1+y2)
que não satisfaz x=3.
  • Escalar: se lambdainR e (3,y)in H,
lambda,(3,y)=(3lambda,lambda y)
tem x=3lambda, que só vale 3 se lambda=1. Para outro lambda, não fica em H.

Resposta

H não é subespaço vetorial de R^2.

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