Determinar se o seguinte conjunto é um espaço vetorial. Se não for, explique qual propriedade não satisfaz.
O conjunto das matrizes diagonais n times n com a operação
A oplus B=A B
e a multiplicação por escalar usual.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto das matrizes diagonais n times n . A operação de “soma” definida aqui não é a soma comum de matrizes, mas sim a multiplicação de matrizes, isto é:
A oplus B = A B
E a multiplicação por escalar é a usual que a gente já conhece. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas coisas: somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar. Mas não é qualquer soma e multiplicação que serve; elas precisam satisfazer certas regras chamadas axiomas. Vamos verificar se essas regras são cumpridas aqui.

Passo 3

Vamos olhar os axiomas básicos de um espaço vetorial e ver se eles são atendidos com as operações dadas:
  1. Comutatividade da soma: A oplus B = B oplus A
  2. Associatividade da soma: (A oplus B) oplus C = A oplus (B oplus C)
  3. Elemento neutro da soma: Existe uma matriz 0 tal que A oplus 0 = A
  4. Elemento inverso da soma: Para cada A , existe um -A tal que A oplus (-A) = 0
  5. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores: c(A oplus B) = cA oplus cB
  6. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares: (c + d)A = cA oplus dA
  7. Associatividade da multiplicação por escalar: c(dA) = (cd)A
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = A

Passo 4

Vamos verificar alguns desses axiomas:
  • Comutatividade da soma: Aqui, A oplus B = A B . Porém, a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja, A B neq B A . Isso já quebra a comutatividade da soma, um dos axiomas fundamentais.
  • Associatividade da soma: A multiplicação de matrizes é associativa, então (A oplus B) oplus C = A B C = A oplus (B oplus C) . Esse axiom está ok.
  • Elemento neutro da soma: O elemento neutro seria uma matriz identidade I , pois A oplus I = A I = A . Isso também está funcionando.
  • Elemento inverso da soma: Aqui já tem problema, porque para existir um inverso -A , precisaríamos que A I^-1 = A , mas a operação de multiplicação por -1 não funciona bem com a multiplicação de matrizes desta forma.
Mesmo com alguns axiomas satisfeitos, a falta de comutatividade já é suficiente para concluir.

Resposta

Não, o conjunto das matrizes diagonais n times n com a operação A oplus B = A B e a multiplicação por escalar usual não é um espaço vetorial, porque a operação de soma definida ( A oplus B = A B ) não é comutativa, violando um dos axiomas essenciais dos espaços vetoriais.

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