Determinar se o seguinte conjunto é um espaço vetorial. Se não for, explique qual propriedade não satisfaz.
O conjunto das matrizes diagonais
com a operação
e a multiplicação por escalar usual.
O conjunto das matrizes diagonais
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto das matrizes diagonais
. A operação de “soma” definida aqui não é a soma comum de matrizes, mas sim a multiplicação de matrizes, isto é:
E a multiplicação por escalar é a usual que a gente já conhece. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas coisas: somar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar. Mas não é qualquer soma e multiplicação que serve; elas precisam satisfazer certas regras chamadas axiomas. Vamos verificar se essas regras são cumpridas aqui.
Passo 3
Vamos olhar os axiomas básicos de um espaço vetorial e ver se eles são atendidos com as operações dadas:
- Comutatividade da soma:
- Associatividade da soma:
- Elemento neutro da soma: Existe uma matriz
tal que - Elemento inverso da soma: Para cada
, existe um tal que - Distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares:
- Associatividade da multiplicação por escalar:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Passo 4
Vamos verificar alguns desses axiomas:
-
Comutatividade da soma: Aqui,
. Porém, a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja, . Isso já quebra a comutatividade da soma, um dos axiomas fundamentais. -
Associatividade da soma: A multiplicação de matrizes é associativa, então
. Esse axiom está ok. -
Elemento neutro da soma: O elemento neutro seria uma matriz identidade
, pois . Isso também está funcionando. -
Elemento inverso da soma: Aqui já tem problema, porque para existir um inverso
, precisaríamos que , mas a operação de multiplicação por não funciona bem com a multiplicação de matrizes desta forma.
Mesmo com alguns axiomas satisfeitos, a falta de comutatividade já é suficiente para concluir.
Resposta
Não, o conjunto das matrizes diagonais
com a operação
e a multiplicação por escalar usual não é um espaço vetorial, porque a operação de soma definida (
) não é comutativa, violando um dos axiomas essenciais dos espaços vetoriais.