Determinar se o seguinte conjunto é um espaço vetorial. Se não for, explique qual propriedade não satisfaz.
O conjunto de matrizes com a multiplicação por escalar usual e a soma definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial. Estamos no campo da Álgebra Linear, e para isso, precisamos analisar se esse conjunto de matrizes 2 times 2, com uma regra de soma especial e a multiplicação por escalar usual, satisfaz as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, e todas essas operações obedecem a certas regras chamadas de axiomas. Tem que ter propriedades como associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro (zero), e existência de inversos, entre outros.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto que temos. São matrizes 2 times 2, o que já é comum em Álgebra Linear. A peculiaridade está na forma como vamos “somar” duas matrizes. Em vez da soma tradicional, onde somamos cada elemento correspondente, aqui a definição é diferente:
Ou seja, em vez de somar, estamos multiplicando cada elemento correspondentes das duas matrizes.
Passo 4
Vamos verificar os axiomas de um espaço vetorial com essa definição de soma.
Fechamento sob a soma: Multiplicando duas matrizes 2 times 2, o resultado ainda é uma matriz 2 times 2. Então, por enquanto, está ok.
Associatividade da soma: Precisamos que (A oplus B) oplus C = A oplus (B oplus C). Vamos testar com matrizes específicas:
Seja A = 1 &11&1, B = 2 &22&2, e C = 3 &33&3.
(A oplus B) oplus C = 1*2 &1*21*2 &1*2 oplus C = 2*3 &2*32*3 &2*3 = 6 &66&6
A oplus (B oplus C) = A oplus 2*3 &2*32*3 &2*3 = 1*6 &1*61*6 &1*6 = 6 &66&6
Nesse caso, funciona. Mas isso não garante que funcione para todas as matrizes. Na verdade, multiplicação de matrizes com essa definição não é associativa em geral para todas as matrizes.
Existência do elemento neutro: Precisamos de uma matriz zero tal que A oplus 0 = A. Com nossa definição, isso significaria que cada elemento da matriz zero deve ser 1, já que a times 1 = a. Então, o potencial “zero” seria a matriz identidade:
0 = 1 &11&1
Mas isso causa problemas, porque 0 oplus 0 = 1*1 &1*11*1 &1*1 = 1 &11&1, que não é igual a 0 definido. Portanto, não existe um elemento neutro válido.
Existência de inversos: Mesmo que houvesse um elemento neutro, precisaríamos que para cada matriz A, existisse uma outra matriz -A tal que A oplus (-A) = 0. Como não temos o elemento neutro adequado, isso já quebra.
Resposta
Não, esse conjunto não é um espaço vetorial porque não existe um elemento neutro para a operação de soma definida, ou seja, não há uma matriz que funcione como zero para a soma oplus.