Determinar quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de R^3
Todos os vetores da forma (a, b, c), com b=2 a+c

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = l(a,b,c)in R^3 mid b = 2a + cr
e pede para verificar se S é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso vamos usar o critério clássico:
  1. S deve conter o vetor zero.
  2. S deve ser fechado sob soma.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a S.
Substituindo a=0 e c=0 na condição b = 2a + c obtemos
b = 2cdot 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)in S.

Passo 3

Mostramos que S é fechado sob soma.
Sejam
v = (a,,2a+c,,c)in S e w = (a',,2a'+c',,c')in S
Então
v + w = l(a+a',; (2a+c)+(2a'+c'),; c+c'r)
No segundo componente temos
(2a+c)+(2a'+c') = 2(a+a') + (c+c'),
portanto v+w também satisfaz a condição b = 2a + c e logo v+win S.

Passo 4

Mostramos que S é fechado sob multiplicação escalar.
Seja lambdainR e
v = (a,,2a+c,,c)in S
Então
lambda v = l(lambda a,;lambda(2a+c),;lambda cr) = l(lambda a,;2(lambda a)+(lambda c),;lambda cr),
ou seja, o segundo componente é 2(lambda a)+(lambda c), de modo que lambda v também está em S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

O conjunto (a,b,c)inR^3mid b=2a+c é um subespaço vetorial de R^3.

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