Determinar quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
Todos os vetores da forma
, com
Todos os vetores da forma
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Para isso vamos usar o critério clássico:
Para isso vamos usar o critério clássico:
-
deve conter o vetor zero. -
deve ser fechado sob soma. -
deve ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
.
Substituindo e
na condição
obtemos
Substituindo
logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma.
Sejam
Sejam
Então
No segundo componente temos
portanto
também satisfaz a condição
e logo
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação escalar.
Seja e
Seja
Então
ou seja, o segundo componente é
, de modo que
também está em
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.