Verifique se os vetores abaixo são LI ou LD:
(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1)

Passo 1

Temos três vetores em R^3: (1,2,3), (1,3,2) e (1,4,1), e queremos verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). O conteúdo aqui é combinação linear e resolução de sistema homogêneo.

Passo 2

Para testar independência, montamos a combinação linear nula alpha(1,2,3)+beta(1,3,2)+gamma(1,4,1)=(0,0,0). Isso gera o sistema homogêneo:
alpha + beta + gamma = 0 2alpha + 3beta + 4gamma = 0 3alpha + 2beta + gamma = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, da primeira equação vem alpha = -beta - gamma. Substituindo na segunda equação:
2(-beta - gamma) + 3beta + 4gamma = 0 implies -2beta -2gamma +3beta +4gamma = 0 implies beta + 2gamma = 0 implies beta = -2gamma
Usando beta = -2gamma na expressão de alpha obtemos alpha = -(-2gamma) - gamma = 2gamma - gamma = gamma. Agora verificamos a consistência na terceira equação:
3alpha + 2beta + gamma = 3gamma + 2(-2gamma) + gamma = 3gamma -4gamma + gamma = 0, então o sistema é compatível com infinitas soluções.

Passo 4

Como existe uma solução não trivial (por exemplo, escolhendo gamma=1 (alpha,beta,gamma)=(1,-2,1)), os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados