Determine se é um espaço vetorial
O conjunto S=(a, b, c) in R^3 com a operação padrão de adição, mas com multiplicação por escalar definida por alpha cdot(a, b, c)=(alpha^2 a, alpha^2 b, alpha^2 c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se o conjunto S = (a, b, c) in R^3, com a adição padrão e uma multiplicação por escalar definida por alpha cdot (a, b, c) = (alpha^2 a, alpha^2 b, alpha^2 c), é um espaço vetorial. Para isso, vamos lembrar as propriedades que um conjunto precisa ter para ser considerado um espaço vetorial e verificar uma a uma.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto S é fechado sob a adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores qualquer em S e somarmos eles, o resultado também deve estar em S.

Passo 3

Sejam u = (a, b, c) e v = (d, e, f) pertencentes a S. Somando eles, temos:
u + v = (a + d, b + e, c + f)
Como a soma de números reais continua sendo um número real, o vetor resultante também está em S. Então, S é fechado sob a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar o fechamento sob a multiplicação por escalar. Precisamos ver se, para qualquer vetor u in S e qualquer escalar alpha, o vetor alpha cdot u também pertence a S.

Passo 5

Usando a definição da multiplicação por escalar dada:
alpha cdot (a, b, c) = (alpha^2 a, alpha^2 b, alpha^2 c)
Esse vetor continua tendo componentes reais, então alpha cdot u está em S. Portanto, S também é fechado sob a multiplicação por escalar.

Passo 6

Vamos verificar agora outras propriedades essenciais dos espaços vetoriais, como a existência do vetor nulo. O vetor nulo em S deve ser (0, 0, 0), e de fato, isso funciona porque:
u + (0, 0, 0) = u
Então, o vetor nulo está presente em S.

Passo 7

Precisamos também garantir que para cada vetor u = (a, b, c) em S, exista um vetor inverso -u = (-a, -b, -c) tal que:
u + (-u) = (0, 0, 0)
Como -u também está em S, essa propriedade está satisfeita.

Passo 8

Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. A propriedade diz que:
alpha cdot (u + v) = alpha cdot u + alpha cdot v
Usando a definição da multiplicação:
alpha cdot (u + v) = alpha cdot (a + d, b + e, c + f) = (alpha^2(a + d), alpha^2(b + e), alpha^2(c + f))
E:
alpha cdot u + alpha cdot v = (alpha^2a, alpha^2b, alpha^2c) + (alpha^2d, alpha^2e, alpha^2f) = (alpha^2a + alpha^2d, alpha^2b + alpha^2e, alpha^2c + alpha^2f)
Vemos que as duas expressões são iguais, então essa propriedade é satisfeita.

Passo 9

Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
(alpha + beta) cdot u = alpha cdot u + beta cdot u
Vamos calcular ambos os lados.
À esquerda:
(alpha + beta) cdot (a, b, c) = ((alpha + beta)^2a, (alpha + beta)^2b, (alpha + beta)^2c)
À direita:
alpha cdot u + beta cdot u = (alpha^2a, alpha^2b, alpha^2c) + (beta^2a, beta^2b, beta^2c) = (alpha^2a + beta^2a, alpha^2b + beta^2b, alpha^2c + beta^2c)
Para que as duas expressões sejam iguais, precisaríamos que:
(alpha + beta)^2 = alpha^2 + beta^2
Mas isso não é verdade na matemática, já que:
(alpha + beta)^2 = alpha^2 + 2alphabeta + beta^2
A menos que alphabeta = 0, o que não ocorre para todos os escalares.

Passo 10

Como essa propriedade de distributividade não é satisfeita para todos os escalares alpha e beta, a multiplicação por escalar definida não cumpre todos os axiomas necessários para que S seja um espaço vetorial.

Resposta

Não, S não é um espaço vetorial com as operações definidas.

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