Determine se é um espaço vetorial
O conjunto
com a operação padrão de adição, mas com multiplicação por escalar definida por
.
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa verificar se o conjunto
, com a adição padrão e uma multiplicação por escalar definida por
, é um espaço vetorial. Para isso, vamos lembrar as propriedades que um conjunto precisa ter para ser considerado um espaço vetorial e verificar uma a uma.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o conjunto
é fechado sob a adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores qualquer em
e somarmos eles, o resultado também deve estar em
.
Passo 3
Sejam
e
pertencentes a
. Somando eles, temos:
Como a soma de números reais continua sendo um número real, o vetor resultante também está em
. Então,
é fechado sob a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar o fechamento sob a multiplicação por escalar. Precisamos ver se, para qualquer vetor
e qualquer escalar
, o vetor
também pertence a
.
Passo 5
Usando a definição da multiplicação por escalar dada:
Esse vetor continua tendo componentes reais, então
está em
. Portanto,
também é fechado sob a multiplicação por escalar.
Passo 6
Vamos verificar agora outras propriedades essenciais dos espaços vetoriais, como a existência do vetor nulo. O vetor nulo em
deve ser
, e de fato, isso funciona porque:
Então, o vetor nulo está presente em
.
Passo 7
Precisamos também garantir que para cada vetor
em
, exista um vetor inverso
tal que:
Como
também está em
, essa propriedade está satisfeita.
Passo 8
Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. A propriedade diz que:
Usando a definição da multiplicação:
E:
Vemos que as duas expressões são iguais, então essa propriedade é satisfeita.
Passo 9
Agora, vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos calcular ambos os lados.
À esquerda:
À direita:
Para que as duas expressões sejam iguais, precisaríamos que:
Mas isso não é verdade na matemática, já que:
A menos que
, o que não ocorre para todos os escalares.
Passo 10
Como essa propriedade de distributividade não é satisfeita para todos os escalares
e
, a multiplicação por escalar definida não cumpre todos os axiomas necessários para que
seja um espaço vetorial.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial com as operações definidas.