Determine se v1=(1,1,2), v2=(1,0,1) e v3=(0,1,3) geram o espaço vetorial R^3.

Passo 1

O enunciado pede para saber se os vetores
,v1=(1,1,2), ,v2=(1,0,1) e ,v3=(0,1,3)
geram o espaço R^3. Isso equivale a verificar se eles são linearmente independentes ou, equivalentemente, se a matriz construída com esses vetores como colunas é invertível.

Passo 2

Vamos montar a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 2 & 1 & 3
Se det(A)neq 0, então rank(A)=3 e os vetores geram R^3.

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdot(0cdot3 - 1cdot1) -1cdot(1cdot3 - 1cdot2) +0cdot(dots) = 1cdot(-1) -1cdot(3-2) + 0 = -1 - 1 = -2

Passo 4

Como det(A) = -2 neq 0, concluímos que v1,v2,v3 são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço R^3.

Resposta

Sim, os vetores v1,v2,v3 geram R^3, pois det(A)=-2neq 0.

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