Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{\left(e^{x}-1\right) \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\left(e^{x}-1\right)\operatorname{sen}x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função no numerador é 1-\cos x.
  • A função no denominador é \left(e^{x}-1\right)\operatorname{sen}x.
  • O limite é tomado quando x tende a 0.
  • Ao avaliar em x=0: 1-\cos 0=0 e \left(e^{0}-1\right)\operatorname{sen}0=0\cdot 0=0. Logo a expressão tem forma indeterminada 0/0 (isto é informação do enunciado que vamos usar mais adiante).

Passo 2

Qual a estratégia que vamos usar? Quando temos um limite com forma indeterminada 0/0 (ou \infty/\infty), uma ferramenta muito útil é a regra de L’Hospital. Vou te explicar essa regra de forma simples e mostrar por que vale a pena usá-la aqui.
Regra de L’Hospital (versão prática): se \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0 (ou ambos = \pm\infty), e f e g são diferenciáveis num intervalo com a (exceto talvez em a), então, se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Ou seja: podemos derivar numerador e denominador e calcular o limite da razão das derivadas — às vezes isso resolve a indeterminação.
Regras de derivação que vou usar (lembrete rápido e simples):
  • Derivada de \cos x é -\sin x. Assim, derivada de 1-\cos x é \sin x.
  • Derivada de e^{x} é e^{x}.
  • Derivada de \sin x é \cos x.
  • Regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'.
Agora vamos aplicar L’Hospital passo a passo.

Passo 3

Primeira aplicação de L’Hospital.
Identificamos f(x)=1-\cos x e g(x)=(e^{x}-1)\sin x. Como já vimos, f(0)=0 e g(0)=0, temos forma 0/0, então podemos aplicar L’Hospital:
Calcule as derivadas:
  • f'(x)=\sin x (porque (1-\cos x)' = 0 -(-\sin x)=\sin x).
  • Para g(x)=(e^{x}-1)\sin x aplicamos a regra do produto: g'(x) = (e^{x}-1)'\sin x + (e^{x}-1)(\sin x)'.Aqui (e^{x}-1)'=e^{x} e (\sin x)'=\cos x. Portanto g'(x) = e^{x}\sin x + (e^{x}-1)\cos x.
Pela regra de L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{(e^{x}-1)\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{e^{x}\sin x + (e^{x}-1)\cos x}.

Passo 4

Verificamos o novo limite substituindo x=0: numerador \sin 0=0; denominador e^{0}\sin 0 + (e^{0}-1)\cos 0 = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0. Ainda é 0/0. Então aplicamos L’Hospital de novo.
Diferenciamos numerador e denominador:
  • Numerador: (\sin x)'=\cos x.
  • Denominador: vamos derivar h(x)=e^{x}\sin x + (e^{x}-1)\cos x termo a termo, usando produto:
    Para e^{x}\sin x:
    (e^{x}\sin x)' = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x = e^{x}(\sin x + \cos x).
    Para (e^{x}-1)\cos x:
    \big((e^{x}-1)\cos x\big)' = e^{x}\cos x + (e^{x}-1)(-\sin x) = e^{x}\cos x - (e^{x}-1)\sin x.
    Somando as duas partes:
    h'(x) = e^{x}(\sin x + \cos x) + e^{x}\cos x - (e^{x}-1)\sin x.
    Agora simplificamos passo a passo:
    h'(x) = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x + e^{x}\cos x - (e^{x}-1)\sin x.
h'(x) = \big(e^{x}\sin x - (e^{x}-1)\sin x\big) + 2e^{x}\cos x.
h'(x) = \big(e^{x} - (e^{x}-1)\big)\sin x + 2e^{x}\cos x.
h'(x) = 1\cdot \sin x + 2e^{x}\cos x = \sin x + 2e^{x}\cos x.
Pela segunda aplicação de L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{e^{x}\sin x + (e^{x}-1)\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{\sin x + 2e^{x}\cos x}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite final por substituição direta (já não é indeterminado):
  • \cos 0 = 1.
  • \sin 0 = 0.
  • e^{0} = 1.
Logo o denominador em x=0 é \sin 0 + 2e^{0}\cos 0 = 0 + 2\cdot 1\cdot 1 = 2.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{\sin x + 2e^{x}\cos x}=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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