Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O limite é tomado quando
tende a . - Ao avaliar em
: e . Logo a expressão tem forma indeterminada (isto é informação do enunciado que vamos usar mais adiante).
Passo 2
Qual a estratégia que vamos usar? Quando temos um limite com forma indeterminada
(ou
), uma ferramenta muito útil é a regra de L’Hospital. Vou te explicar essa regra de forma simples e mostrar por que vale a pena usá-la aqui.
Regra de L’Hospital (versão prática): se
e
(ou ambos =
), e
e
são diferenciáveis num intervalo com
(exceto talvez em
), então, se o limite
existe (ou é
), temos
Ou seja: podemos derivar numerador e denominador e calcular o limite da razão das derivadas — às vezes isso resolve a indeterminação.
Regras de derivação que vou usar (lembrete rápido e simples):
- Derivada de
é . Assim, derivada de é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Regra do produto: se
então .
Agora vamos aplicar L’Hospital passo a passo.
Passo 3
Primeira aplicação de L’Hospital.
Identificamos
e
. Como já vimos,
e
, temos forma
, então podemos aplicar L’Hospital:
Calcule as derivadas:
-
(porque ). - Para
aplicamos a regra do produto: Aqui e . Portanto
Pela regra de L’Hospital:
Passo 4
Verificamos o novo limite substituindo
: numerador
; denominador
. Ainda é
. Então aplicamos L’Hospital de novo.
Diferenciamos numerador e denominador:
-
Numerador:
. -
Denominador: vamos derivar
termo a termo, usando produto: Para: Para: Somando as duas partes:Agora simplificamos passo a passo:
Pela segunda aplicação de L’Hospital:
Passo 5
Agora avaliamos o limite final por substituição direta (já não é indeterminado):
-
. -
. -
.
Logo o denominador em
é
.
Portanto