1. (7 pontos) Encontre a transformada de Laplace de f(t), usando a função degrau unitário, onde:
    f(t)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & 1 \leq t<2 \\\ t, & 2 \leq t<3 \\\\ 0, & t \geq 3\end{array}\right.
f(t)=1+\mu(t-1)+t[\mathrm{Cu}(t-2)+\mu(t-3)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função por partes
f(t)=\begin{cases} 1, & 0 \le t<1,\\\\ 0, & 1 \le t<2,\\\ t, & 2 \le t<3,\\\\ 0, & t\ge3, \end{cases}
usando a função degrau unitário. Vamos usar representação em termos de u(t-a) e aplicar as propriedades de deslocamento na transformada de Laplace.

Passo 2

Escrevemos f(t) com degraus:
f(t) =1\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr] +\,t\bigl[u(t-2)-u(t-3)\bigr].

Passo 3

Calculamos a parte constante
L\{\,1\,[u(t)-u(t-1)]\} =L\{u(t)\}-L\{u(t-1)\} =\frac{1}{s}-\frac{e^{-s}}{s} =\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 4

Para a parte t[u(t-2)-u(t-3)], usamos que
t\,u(t-a)=(t-a)\,u(t-a)+a\,u(t-a),
cuja transformada é
L\{(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}\,\frac{1}{s^2}, \quad L\{a\,u(t-a)\}=a\,\frac{e^{-as}}{s}.
Logo,
L\{t\,u(t-2)\} =e^{-2s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{2}{s}\Bigr), \quad L\{t\,u(t-3)\} =e^{-3s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{3}{s}\Bigr).
Subtraindo,
L\{t\,[u(t-2)-u(t-3)]\} =e^{-2s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{2}{s}\Bigr) -e^{-3s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{3}{s}\Bigr).

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos a transformada total:
F(s) =\frac{1-e^{-s}}{s} +e^{-2s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{2}{s}\Bigr) -e^{-3s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{3}{s}\Bigr).

Resposta

F(s) =\frac{1-e^{-s}}{s} +e^{-2s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{2}{s}\Bigr) -e^{-3s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{3}{s}\Bigr).

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