1. (5 pontos) Sendo f(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau)^{2} \cos 2 \tau d \tau, determine F(s).
    \frac{2}{s^{2}\left(s^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado define
f(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau)^{2}\,\cos2\tau\;d\tau
e pede a transformada de Laplace F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
O conteúdo aqui é a propriedade de convolução de transformadas de Laplace.

Passo 2

Reconhecemos o integrando como uma convolução entre
g(t)=t^{2} \quad\text{e}\quad h(t)=\cos2t,
pois
(g*h)(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)\,h(\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}(t-\tau)^{2}\cos2\tau\,d\tau.
Logo f(t)=g*h.

Passo 3

Calculamos as transformadas de Laplace separadas:
Para g(t)=t^{2} vale a fórmula \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}, então
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Para h(t)=\cos2t temos
\mathcal{L}\{\cos2t\}=\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 4

Pela propriedade de convolução,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{g*h\} =\mathcal{L}\{g\}\,\times\mathcal{L}\{h\} =\frac{2}{s^{3}}\;\times\;\frac{s}{s^{2}+4} =\frac{2}{s^{2}\,(s^{2}+4)}.

Resposta

F(s)=\frac{2}{s^{2}\,(s^{2}+4)}.

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