Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

Estamos analisando a sequência
an = lngl(n^2+1(n+2)(n+3)gr),
que envolve o logaritmo natural de uma expressão racional em n. Para decidir convergência, vamos primeiro encontrar
limntoinftyn^2+1(n+2)(n+3)

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por n^2:
n^2+1(n+2)(n+3) = 1 + 1n^2l(1 + 2nr)l(1 + 3nr) = 1 + 1n^21 + 5n + 6n^2
Quando ntoinfty, os termos tfrac1n, tfrac1n^2 vão a zero, logo
limntoinftyn^2+1(n+2)(n+3) = 1+01+0+0 = 1

Passo 3

Como a função ln(x) é contínua para x>0, podemos passar o limite para dentro do logaritmo:
limntoinftyan = limntoinftyln!l(tfracn^2+1(n+2)(n+3)r) = lnl(limntoinftyn^2+1(n+2)(n+3)r) = ln(1) = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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