Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
21-\left(\frac{\cos ^{2} n}{n}\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(a_n\bigr)_{n\in\mathbb{N}^*} por
a_n = 21 - \frac{\cos^2 n}{n}.
O conteúdo aqui é análise de limite de sequência numérica. Vamos precisar usar que se uma parte de a_n tende a zero, então a_n tende ao valor constante remanescente.

Passo 2

Observe que \cos^2 n é sempre um número entre 0 e 1. Logo, para todo n\ge1 valem as desigualdades
0 \;\le\; \frac{\cos^2 n}{n} \;\le\; \frac{1}{n}.
Sabemos que \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0. Pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), isso implica
\lim_{n\to\infty}\frac{\cos^2 n}{n} = 0.

Passo 3

Como a_n = 21 - \tfrac{\cos^2 n}{n}, podemos escrever
\lim_{n\to\infty}a_n = 21 - \lim_{n\to\infty}\frac{\cos^2 n}{n} = 21 - 0 = 21.
Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = 21.

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